3-瑞利法和弹簧刚度系数

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1、上次内容回顾：简谐振动和能量法讲述的内容第二章自由振动2.3瑞利法2.4弹簧刚度系数2．3瑞利法在前面的讨论中，都假设弹簧总的质量是可以忽略不计的。这样的简化，在许多实际问题中可能已经足够准确了。但在有一些工程问题中弹簧本身的质量可能占系统总质量的一定比例，而不能被忽略。如果忽略这部分弹簧的质量，将会导致计算出来的固有频率偏高。如何考虑弹簧本身的质量，以确定其对振动频率的影响，瑞利(Rayleigh)提出了一种近似方法，它运用能量原理，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的固有频率值。现以图所示

2、的质量一弹簧系统为例说明瑞利法的应用。在应用瑞利法时，必须先假设一个系统的振动形式，设弹簧在振动过程中变形是均匀的，即弹簧在连接质量块的一端位移为x，弹簧(处于平衡位置时)轴向长度为l，则距固定端u处的位移为。因此，当质量块m在某一瞬时的速度为时，弹簧在u处的微段du的相应速度为。设ρ为弹簧单位长度的质量，则弹簧微段du的动能为整个弹簧的动能为而整个系统的总动能为质量块m的动能与弹簧质量的动能之和。在质量块经过静平衡位置时，系统最大动能为系统的势能将仍和忽略弹簧质量时一样为由Tmax=Umax可得对于简谐振动，代入得式中，ρl为弹簧的总质量。可见弹簧质量对

3、于频率的影响相当于在质量m上再加1／3弹簧质量的等值质量，这样就可以把弹簧质量对系统的固有频率的影响考虑进去。应用瑞利法求解系统自由振动的固有频率时，所假定的振动形式越接近实际的振动形式，所得近似值就越接近准确解。实践证明，以静变形作为假定的振动形式，所得近似解与准确解比较，一般来说误差是很小的。例2.3-1设一均质等截面简支梁，如图所示，在中间有一集中质量m，如把梁本身质量考虑在内，试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。解：假定梁在自由振动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载荷mg作用下的静挠度曲线一样。由材料力学可知，位于距支座距离x处的任一单元的位移表

4、达式为式中，ym为中点挠度。根据材料力学有设ρ为梁单位长度的质量，整个梁的动能为可见梁的等效质量为因为是简谐振动，设则系统的最大总动能为而梁的最大弹性势能仍为由Tmax=Umax得得式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中质量时2.4弹簧刚度系数1、定义：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。2、不同受力情况下的弹簧刚度系数的确定拉伸:扭转:弯曲:其中：E弹性模量；G剪切弹性模量；d、D簧丝、簧圈直径；n弹簧圈数。3、等值弹簧刚度系数的确定并联弹簧串联弹簧K1K2mK1K2m在振动系统中常常不是单独使用一个弹性元件，而是串联或并联几个弹性元件加以使用。

5、这时需要把组合的弹簧系统折算成一个“等效”的弹簧，其等效弹簧的刚度应该和原来的组合弹簧系统的刚度相等，即等效刚度。下面以两个串联和并联的弹簧为例，说明组合弹簧系统的等效刚度的计算方法。如图所示是两个串联弹簧，刚度系数分别为k1和k2，求B端垂直方向的刚度时，在B端加一垂直力，每个弹簧都拉伸，伸长分别为F/k1和F/k2。B点的位移为两个弹簧的总伸长，即由此，B点的等效刚度系数为也可以写成从上式可以看出，两个串联弹簧的等效刚度比原来两个弹簧的刚度都要小，也就是说，串联弹簧使系统中的弹簧刚度降低。如果有n个弹簧串联，刚度系数分别为是k1、k2、…...kn，则

6、等效刚度系数k应满足关系式如图所示是两个并联弹簧，连接两弹簧的刚性杆在弹簧变形过程中保持水平，求B端垂直方向的刚度时，在B端加垂直力F。这时两个弹簧均伸长xB。但两个弹簧所受的力不相等，分别为是k1xB和k2xB。根据静力平衡条件得所以B点的等效刚度为可见并联弹簧系统的刚度是原来弹簧刚度的总和，比原来各弹簧的刚度都要大。如果有n个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别为k1，k2，……kn，则等效刚度系数为弹簧的并联与串联，不能按表面形式来划分，应从力的分析来判断。例如图(a)与(b)中的弹簧为串联，而图(c)与(d)中的弹簧则属于并联。