高一(人教A版)数学课件：1.3.2奇偶性(第1课时函数奇偶性的概念)1

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1、1.3.2奇偶性(第1课时　函数奇偶性的概念)1．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？【提示】由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.2．奇(偶)函数的定义域有什么特点？这种特点是怎样影响函数的奇偶性的？【提示】(1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2

2、)若函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f(x)的定义域为{x

3、x≠－3}；定义域不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)

4、仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)(3)x∈R，f(－x)＝

5、－x＋2

6、－

7、－x－2

8、＝

9、x－2

10、－

11、x＋2

12、＝－(

13、x＋2

14、－

15、x－2

16、)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①已知函数为分段函数；②判断此函数的奇偶性．解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．【解析】(1)当x<0时，－x>0f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－1，＝－x2－x－1＝－(x2＋x＋1)＝－f(x)

17、(2)当x>0时，－x<0f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝－(x2＋x－1)＝－f(x)综上f(－x)＝－f(x)∴f(x)是奇函数(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋x－1，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋x－1，而是f(x)＝x2＋x＋1；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．【解析】①当x>0时，

18、－x<0f(－x)＝－x－2＝f(x)②当x<0时，－x>0f(－x)＝－(－x)－2＝x－2＝f(x)③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)∴f(x)是偶函数．已知函数f(x)不恒为0，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：f(x)是奇函数．【思路点拨】令x＝y＝0―→求f(0)―→令y＝－x―→f(－x)＝－f(x)―→结论【证明】函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，∴f(－x

19、)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．抽象函数奇偶性的判定通常用定义法，主要是充分运用所给条件，想法寻找f(x)与f(－x)之间的关系，此类题目常用到f(0)，可通过给式子中变量赋值，构造出0，把f(0)求出来．3.本例中，若将条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”改为f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数．【证明】令x＝0，y＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①又令x＝x，y＝0得f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②①②得f(－x)＝f(x)∴f(x)是偶函数．1．准确理解函数奇偶性定

20、义(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．课时作业点击进入链接页码以及子标题内容页