试验设计与数据处理 Experiment design and data processing 第4章 回归分析

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1、第4章试验数据的回归分析1主要内容掌握一元线性回归、多元回归、多项回归方程建立的基本方法；两种不同的变量关系，回归分析；一元线性回归方程度建立、显著性检验；非线性回归方程的线性化；多元线性回归方程度建立、显著性检验、偏回归平方和。重点与难点相关关系和函数关系有何不同？一元线性回归主要解决哪几方面的问题？一元线性回归方程度建立、显著性检验。非线性回归方程的线性化。多元线形回归方程应如何求得，如何检验回归方程度显著性，如何判定因素的主次？主要内容及重点和难点24.1基本概念（1）相互关系①确定性关系：变量之间存在着严格的函数关系②相关关系：

2、变量之间近似存在某种函数关系（2）回归分析（regressionanalysis）处理变量之间相关关系的统计方法确定回归方程：变量之间近似的函数关系式检验回归方程的显著性试验结果预测34.2一元线性回归分析4.2.1一元线性回归方程的建立（1）最小二乘原理设有一组试验数据（如表），若x，y符合线性关系xx1x2……xnyy1y2……yn4计算值与试验值yi不一定相等与yi之间的偏差称为残差：a，b——回归系数（regression coefficient）——回归值/拟合值，由xi代入回归方程计算出的y值。一元线性回归方程：5残差平方和

3、：残差平方和最小时，回归方程与试验值的拟合程度最好求残差平方和极小值：上述方程分别对a和b求偏导数6正规方程组（normal equation）：解正规方程组：7简算法：例题4-1p8384.2.2一元线性回归效果的检验（1）相关系数检验法①相关系数（correlation coefficient）：描述变量x与y的线性相关程度定义式：9②相关系数特点：－1≤r≤1r＝±1：x与y有精确的线性关系10r＜0：x与y负线性相关（negativelinearcorrelation）r＞0：x与y正线性相关（positive linearco

4、rrelation）11r≈0时，x与y没有线性关系，但可能存在其它类型关系相关系数r越接近1，x与y的线性相关程度越高试验次数越少，r越接近112当，说明x与y之间存在显著的线性关系r检验局限性对于给定的显著性水平α，查相关系数临界值rmin③相关系数检验13（2）F检验①离差平方和总离差平方和：回归平方和（regression sum of square）：残差平方和：三者关系：14②自由度SST的自由度：dfT＝n－1SSR的自由度：dfR＝1SSe的自由度：dfe＝n－2三者关系：dfT＝dfR＋dfe③均方15④F检验F服从自

5、由度为（1，n－2）的F分布给定的显著性水平α下，查得临界值：Fα（1，n－2)若F＞Fα（1，n－2)，则认为x与y有明显的线性关系，所建立的线形回归方程有意义16⑤方差分析表174.3多元线性回归分析（1）多元线性回归形式试验指标（因变量）y与m个试验因素（自变量）xj（j=1,2,…,m）多元线性回归方程：4.3.1多元线性回归方程的建立偏回归系数：18（2）回归系数的确定根据最小二乘法原理：求偏差平方和最小时的回归系数偏差平方和：根据：得到正规方程组，正规方程组的解即为回归系数。例题4-4P89194.3.2多元线性回归方程显著

6、性检验（1）F检验法总平方和：回归平方和：残差平方和：20F服从自由度为（m，n－m－1）的分布给定的显著性水平α下，若F＞Fα(m，n－m－1)，则y与x1，x2，…，xm间有显著的线性关系方差分析表：21（2）相关系数检验法复相关系数（multiplecorrelationcoefficient）R：反映了一个变量y与多个变量（x1，x2，…，xm）之间线性相关程度计算式：R＝1时，y与变量x1，x2，…，xm之间存在严格的线性关系R≈0时，y与变量x1，x2，…，xm之间不存在线性相关关系当0＜R＜1时，变量之间存在一定程度的线性

7、相关关系R＞Rmin时，y与x1，x2，…，xm之间存在密切的线性关系R一般取正值，0≤R≤1224.3.3因素主次的判断（1）偏回归系数的标准化设偏回归系数bj的标准化回归系数为Pj：Pj越大，则对应的因素（xj）越重要23（2）偏回归系数的显著性检验计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj：SSj＝bjLjySSj的大小表示了因素xj对试验指标y影响程度，对应的自由度dfj＝1服从自由度为（1，n－m－1）的F分布如果若F＜Fα(1，n－m－1)，则说明xj对y的影响是不显著的，这时可将它从回归方程中去掉，变成（m－1）元线性方程24

8、（3）偏回归系数的t检验计算偏回归系数的标准差：t值的计算：单侧t分布表检验：→如果说明xj对y的影响显著，否则影响不显著254.4.1一元非线性回归分析通过线性变换，将其转化为一元线性回归问题：直角坐标中