【天津卷】2019年全国统一高考数学（理）试题

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1、绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，

2、共40分。参考公式：如果事件A，B互斥，那么.如果事件A，B相互独立，那么.棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R，集合，，则(A)(B)(C)(D)(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为(A)6(B)19(C)21(D)45(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(A)1(B)2(C)3(D)4(4)设，则“”是“”的(A)充分而不

3、必要条件(B)必要而不重复条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知，，，则a，b，c的大小关系为(A)(B)(C)(D)(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间上单调递增(B)在区间上单调递减(C)在区间上单调递增(D)在区间上单调递减[(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)(8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，.若点E为边CD上的动点，则的最小值为(A)

4、(B)(C)(D)普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。(9)i是虚数单位，复数.(10)在的展开式中，的系数为.(11)已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为.(13)已知，且，则的最小值为.(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互

5、异的实数解，则的取值范围是.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.(16)(本小题满分13分)]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检

6、查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；[（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.(18)(本小题满分13分)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，

7、，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.(19)(本小题满分14分)设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.(20)(本小题满分14分)已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线