chap7参数估计

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1、第七章参数估计引言参数估计：当总体的某些参数未知(一般要求分布类型已知)时，从样本出发构造适当的统计量，作为未知参数的估计量。当取得一组观察值后，以相应的统计量的观察值作为未知参数的估计值，并讨论估计值对真值进行估计的可靠性。参数估计方法是处理实际问题时最常用的方法。预备概念：当总体X中含有未知参数(可以是向量)时，可用F(x；)来表示X的分布函数，当取不同的值，就会得到不同的分布函数。我们称所有可能取值的集合为参数空间，记为。把{F(x；)，}称为X的分布函数族。若X为连续型随机变量，和分布函数族对应的是密度函数族{f(x；)，}

2、。若X是离散型随机变量，和分布函数族对应的是概率分布函数族{第一节点估计点估计(教材p177)用样本构造适当的统计量，作为未知参数的估计量。当取得一组样本观察值后，用相应的作为未知参数的估计值。说明：1.在统计推断中，当不致混淆时，通常对样本和样本观察值的表示法不加区分，均表成2.对于两组不同的样本观察值，可得到未知参数的两个估计值，但的估计量是同一个。一、矩估计矩估计法原理：用样本k阶原点矩(中心矩)作为总体k阶原点矩(中心矩)的估计量，用样本k+m阶混合矩作为总体k+m阶混合矩的估计量。特别，用作为E(X)的估计量，用作为D(X)的估计量，用样本

3、协方差(相关系数)作为cov(X，Y)和的估计量。定义7.1设总体X中含有未知参数若对每个i(i=1，2，k)，存在连续函数，使则称为的矩估计量，其中称的矩估计量。如何求设总体X的密度函数为由总体原点矩的定义，有从理论上来说，由上面k个方程，可以解出矩估计的优越性：当总体分布类型未知时仍可对总体各阶矩进行估计。矩估计的缺陷：当总体分布类型已知时，未能充分利用总体分布提供的信息。二、极大似然估计引例：罐中有许多白球和黑球，已知两色球的比例为3：1，但不知哪种颜色的球多。今有放回连抽两球均取出黑球，问：罐中黑球多还是白球多？解：设抽出黑球的概率为p，抽得黑球数为

4、X，则X～B(2，p)。P(X=2)=。根据题意，知p=3/4或p=1/4。若p=1/4，则P(X=2)=1/16；若p=3/4，则P(X=2)=9/16。这说明当黑球多时事件(X=2)发生的概率大得多，(或者说样本来自总体B(2，3/4)的可能性比来自总体B(2，1/4)的可能性大得多)根据“概率越大的事件越可能发生”的实际推断原理，应选3/4作为p的估计值。若p的可供选择的估计值有许多，仍应选择发生概率最大的作为p的估计，这就是极大似然估计的思想。极大似然估计的原理(教材p180-181)设总体X的概率密度函数族为f(x；)(或概率分布函数族为P(X=

5、x)=p(x；))，。设为任一组样本观察值(一组抽象的数)，则样本的密度函数(或概率分布)为(或).注意，当X是离散型随机变量，因样本观察值是取定的，故L()，仅是的函数，对连续型随机变量，仍将L()，仅看作的函数。若有，使对几乎所有样本观察值都成立，则称为的极大似然估计量，称为的极大似然估计值。说明：在求极大似然估计量时，先用一组抽象的样本观察值来求，因而得到的是待估参数的极大似然估计值，再用样本代换样本观察值，才能得到待估参数的极大似然估计量。若用一组具体的样本观察值代入，便可得到待估参数的具体极大似然估计值。通过，

6、求出。求L()的极大值：说明：1.因为L()是样本观察值的函数(此时样本观察值不变)，故求出的一般也是样本观察值的函数。2.由于只是lnL()取极值的必要条件，从理论上来说，还应验证lnL()lnL()，对所有样本观察值都成立。但这种验证通常是非常困难的，故多不进行验证。3.若不只一个参数需要估计，也采用同样的方法，只是这时似然函数是多元函数，要通过令偏导数等于零求出驻点。(具体步骤见教材p182-183)。例1.设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从参数为的泊松分布，设有以下样本观察值，=25012622549075k次着火天数654

7、3210着火次数k试用矩估计法估计参数；试用极大似然估计法估计参数；3)试求P(X=0)的极大似然估计值。例2(2002年数学三考研试题填空题)设总体X的概率密度为而是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为______。注：本题是盛骤等编《概率论与数理统计》(第二版)第七章习题2-4的特例。例3(2002年数学一考研试题十二题)设总体X的概率分布为1-22(1-)p3210X其中(0<<1/2)是未知参数，利用总体X得如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3求的矩估计值和极大似然估计值。说明：1.本题中因P(X=)无一般表达式，故

8、不能先求极大似然估计量，再将样本观察值代入求极大似然