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1、1、设某地区的风速服从,密度函数为,试按频率估计概率的原理(?),在,n=5求百年一遇的最大风速值(即大于的概率为1%).解由已知易求得的特征函数为.设为样本,则的特征函数为.现记,则的特征函数为.由此可知,服从自由度为的分布.由题意知,欲求值,使得,即.由知,从而.2、对任一地区,地震的震级数与其发生的次数n之间有经验公式,试按频率估计概率原理,求震级的分布函数.解由题意知震级小于的频率为用频率估计概率原理,震级小于的概率为可用上式估计从而的分布函数为.3、设总体服从正态今观察了二十次,只记录是否为负值,若事件“”出现了十四次,试按频率估计概率的原理,求估计值的估计值.
2、解设,则.于是.由知,从而.4、设总体的密度函数为,为其样本,求参数的极大似然估计量.(1);(2)(3)(4)解(1)我们知道,的似然函数为,取对数得,.将按从小到大的顺序排列,记作,则有当时,因为在处取最大值,所以.当时,因为在满足的一切处都取最大值,所以满足的一切都是的极大似然估计.5、设总体服从二项分布,为正整数,为其样本,求及的矩法估计量.解由二项分布可知,.由方程组解得.6、设总体服从对数正态分布,密度函数为,为其样本,求及的矩法估计量.解由已知得,.则矩估计方程组为.令,则方程组变成显然,由此解得,即,从而解得.7、设为电子元件的失效时间(单位:小时),其密
3、度函数为(即随机变量具有在左边截头的,参数为的指数分布).假定n个元件独立地试验并记录其失效时间分别为.(1)当为已知时,求的极大似然法估计量;(2)当已知时,求的极大似然法估计.解(1)的似然函数为,取对数得.令,解得.(2)的似然函数为,取对数得, 显然要使最大,只须最小.取,8、设总体服从正态为其样本.(1)求k,使为的无偏估计量;(2)求k,使为的无偏估计量.解(1).令,则.从而.故当时,,这时为的无偏估计量.(2).当时,,这时为的无偏估计量.9、设总体的数学期望为,方差为,是它的样本,为的任一线性无偏估计量.证明其样本平均与的相关系数为.证明相关系数,故要证
4、其样本平均与的相关系数为.只需证.由于是线性无偏估计量,故可令,..而.于是.从而知.所以.10、设总体服从正态,为其样本,试证下述三个估计量(1);(2);(3)都是的无偏估计量,请问哪一个方差最小.11、设总体的数学期望为,及分别为参数的两个无偏估计量,它们的方差分别为及,相关系数为,试确定常数,使得有最小方差.解.令,有解得从而为保证,要求.12、设总体服从正态总体服从正态 为总体的样本,为总体的样本,且这两个样本相互独立.(1)试求的无偏估计量;(2)如果固定,问及如何配置,可使的方差达到最小.解:(1),从而可作为的无偏估计量.(2)由于,于是问题变为当固定,如
5、何配置及,使得最小.14、设总体的密度函数为为其样本. 试证及都是参数的无偏估计量,问哪个有效?解我们知道,.由已知得,从而知,所以..故及均是参数的无偏估计.又故..从而.因此,从而更有效.15、设及是参数的两个独立的无偏估计量,且的方差为的方差的两倍,试确定常数及,使得为参数的无偏估计量,并且在所有这样的线性估计中方差最小.解由已知得,且.为使,则.下面我们来确定及,使得最小..易知,当时,取得最小值.故当,时,为最小线性无偏估计.16、设和分别是参数的可估计函数和的最优无偏估计量,试证是的最优无偏估计量,其中为常数.解由于与分别为参数的可估计函数和的最优无偏估计量,
6、故由定理7.2.1,对任意满足的有,.于是且.再一次应用定理7.2.1可知是的最优无偏估计量.17、设总体服从正态,总体服从正态, 为总体的样本,为总体的样本,且这两个样本相互独立.(1)试建立的置信水平为的区间估计;(2)假定,试建立的置信水平为的区间估计.解:(1)由抽样分布定理知,.令,则.对于给定的置信度,查表得与,使得.从而得的置信区间为[].(2)假设.由已知得,,故,从而,于是对于给定的置信度,查正态分布表得,从而得的置信区间为[,].18、设总体服从正态,总体服从正态,其中未知,及分别为其样本,且这两个样本相互独立.求的置信水平为的区间估计.(这个题出得没
7、什么意义,略过).19、设总体服从正态,已知,试分别求置信水平为的及的区间估计.解由已知得从而.根据查分布表得于是知的置信区间为即.下求的区间估计.查表得.于是知置信区间为即.20、若从自动车床加工的一批零件中随机抽取10个,测得其尺寸与规定尺寸的偏差(单位:微米)分别为:2、1、-2、3、2、4、-2、5、3、4.零件尺寸的偏差记作,假设总体服从正态,试求及的无偏估计量,并求置信水平为的区间估计.解:易知及的无偏估计分别为:.由题中样本数据计算得,.首先求的区间估计.选取统计量根据查分布表得,又,,于是知的置信区间为,即[0