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1、1、设某地区的风速服从，密度函数为，试按频率估计概率的原理(?)，在，n=5求百年一遇的最大风速值（即大于的概率为1%）.解由已知易求得的特征函数为.设为样本，则的特征函数为.现记,则的特征函数为.由此可知，服从自由度为的分布.由题意知，欲求值，使得,即.由知,从而.2、对任一地区，地震的震级数与其发生的次数n之间有经验公式，试按频率估计概率原理，求震级的分布函数.解由题意知震级小于的频率为用频率估计概率原理，震级小于的概率为可用上式估计从而的分布函数为.3、设总体服从正态今观察了二十次，只记录是否为负值，若事件“”出现了十四次，试按频率估计概率的原理，求估计值的估计值.
2、解设，则.于是.由知，从而.4、设总体的密度函数为，为其样本，求参数的极大似然估计量.（1）；（2）（3）（4）解（1）我们知道，的似然函数为，取对数得，.将按从小到大的顺序排列，记作，则有当时,因为在处取最大值,所以.当时,因为在满足的一切处都取最大值,所以满足的一切都是的极大似然估计.5、设总体服从二项分布，为正整数，为其样本，求及的矩法估计量.解由二项分布可知，.由方程组解得.6、设总体服从对数正态分布，密度函数为，为其样本，求及的矩法估计量.解由已知得，.则矩估计方程组为.令，则方程组变成显然，由此解得，即，从而解得.7、设为电子元件的失效时间（单位：小时），其密
3、度函数为(即随机变量具有在左边截头的，参数为的指数分布).假定n个元件独立地试验并记录其失效时间分别为.（1）当为已知时，求的极大似然法估计量；（2）当已知时，求的极大似然法估计.解（1）的似然函数为，取对数得.令，解得.(2)的似然函数为,取对数得, 显然要使最大，只须最小.取，8、设总体服从正态为其样本.(1)求k，使为的无偏估计量；（2）求k，使为的无偏估计量.解（1）.令，则.从而.故当时，，这时为的无偏估计量.(2).当时，,这时为的无偏估计量.9、设总体的数学期望为，方差为，是它的样本，为的任一线性无偏估计量.证明其样本平均与的相关系数为.证明相关系数,故要证
4、其样本平均与的相关系数为.只需证.由于是线性无偏估计量，故可令，..而.于是.从而知.所以.10、设总体服从正态，为其样本，试证下述三个估计量（1）；（2）；（3）都是的无偏估计量，请问哪一个方差最小.11、设总体的数学期望为，及分别为参数的两个无偏估计量，它们的方差分别为及，相关系数为，试确定常数，使得有最小方差.解.令，有解得从而为保证，要求.12、设总体服从正态总体服从正态 为总体的样本，为总体的样本，且这两个样本相互独立.(1)试求的无偏估计量；（2）如果固定，问及如何配置，可使的方差达到最小.解：(1),从而可作为的无偏估计量.(2)由于,于是问题变为当固定,如
5、何配置及,使得最小.14、设总体的密度函数为为其样本. 试证及都是参数的无偏估计量，问哪个有效？解我们知道，.由已知得,从而知,所以..故及均是参数的无偏估计.又故..从而.因此,从而更有效.15、设及是参数的两个独立的无偏估计量，且的方差为的方差的两倍，试确定常数及，使得为参数的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差最小.解由已知得，且.为使，则.下面我们来确定及，使得最小..易知，当时，取得最小值.故当，时，为最小线性无偏估计.16、设和分别是参数的可估计函数和的最优无偏估计量，试证是的最优无偏估计量，其中为常数.解由于与分别为参数的可估计函数和的最优无偏估计量，
6、故由定理7.2.1，对任意满足的有，.于是且.再一次应用定理7.2.1可知是的最优无偏估计量.17、设总体服从正态，总体服从正态， 为总体的样本，为总体的样本，且这两个样本相互独立.（1）试建立的置信水平为的区间估计;(2)假定，试建立的置信水平为的区间估计.解:(1)由抽样分布定理知,.令,则.对于给定的置信度,查表得与,使得.从而得的置信区间为[].(2)假设.由已知得,,故,从而,于是对于给定的置信度,查正态分布表得,从而得的置信区间为[,].18、设总体服从正态，总体服从正态，其中未知，及分别为其样本，且这两个样本相互独立.求的置信水平为的区间估计.(这个题出得没
7、什么意义,略过).19、设总体服从正态，已知，试分别求置信水平为的及的区间估计.解由已知得从而.根据查分布表得于是知的置信区间为即.下求的区间估计.查表得.于是知置信区间为即.20、若从自动车床加工的一批零件中随机抽取10个，测得其尺寸与规定尺寸的偏差（单位：微米）分别为：2、1、-2、3、2、4、-2、5、3、4.零件尺寸的偏差记作，假设总体服从正态，试求及的无偏估计量，并求置信水平为的区间估计.解：易知及的无偏估计分别为：.由题中样本数据计算得,.首先求的区间估计.选取统计量根据查分布表得,又,,于是知的置信区间为,即[0
