江苏高考数学一轮复习《平面向量的有关概念及其线性运算》教程学案

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1、第53课　平面向量的有关概念及其线性运算1.了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.2.掌握向量的加、减运算和数乘运算；理解其几何意义；理解向量共线定理.3.了解向量的线性运算性质及其几何意义.1.阅读：必修4第59～73页.2.解悟：①向量的相关概念；②向量的线性运算；③第71页例4中两个不共线的向量，可以表示平面内任意一向量吗？④第71页例4你能得到什么结论吗？3.践习：在教材空白处，完成第72～73页习题第11、13、14、15、16题.　基础诊断　1.给出下列命题：①

2、若∥，则与共线；②若＝，则∥；③若＝，则＝；④若∥，则A，B，C三点共线.其中，正确的命题是　①②③④　.(填序号)解析：①根据向量平行的定义可知，平行即共线，所以若∥，则与共线正确；②根据相等向量的定义可知，若＝，则与的方向相同，故∥正确；③若＝，则－＝－，即＝，故③正确；④若均不为零向量，若∥，则A，B，C三点共线显然成立.若有一个为零向量，则其中有两个点重合，三点共线依旧成立，故④正确.故选①②③④.2.化简：－＋－＝　　.解析：原式＝＋＋＋＝＋＝.3.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足

3、－

4、＝

5、＋

6、－2

7、，则△ABC的形状是　直角三角形　.8解析：因为

8、－

9、＝

10、＋－2

11、，所以

12、

13、＝

14、＋

15、.以线段AB和AC为邻边画出平行四边形ABDC，则＋＝.因为

16、

17、＝

18、－

19、＝

20、＋

21、，所以平行四边形的两条对角线相等，所以平行四边形是矩形，所以∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形.4.如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为　2　.解析：因为O是BC的中点，所以＝(＋).又因为＝m，＝n，所以＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以

22、m＋n＝2.　范例导航　考向❶平面向量的加减法例1　如图所示，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f.试用a，b，c，d，e，f表示：(1)－；(2)＋＋；(3)－－.解析：(1)因为＝b，＝d，8所以－＝＝－＝d－b.(2)因为＝a，＝b，＝c，＝e，＝f，所以＋＋＝(－)＋(－)＋(－)＝(b－a)＋(f－c)＋(e－b)＝e＋f－a－c.(3)因为＝e，＝f，所以－－＝－(＋)＝－＝＝－＝f－e.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝　　.解析：－－＋＋＝(－)－＋(＋)＝－＋

23、＝.考向❷平面向量的线性运算例2　如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，其中＝，＝，试用a，b表示，，.解析：因为＝－＝a－b，＝＝a－b，所以＝＋＝a＋b.8又因为＝a＋b，所以＝＋＝＋＝＋＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.综上可知，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为　　Ｗ.解析：因为＝，所以＝4，所以＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝.考向❸三点共线向量式例3　在△OAB中，已知P为线段AB上的点，

24、＝x＋y.(1)若＝3，求x＋y的值；(2)x＋y是否为定值？请证明你的结论.解析：(1)因为＝3，所以＋＝3＋3，即4＝＋3，8所以＝＋，所以x＝，y＝，所以x＋y＝1.(2)x＋y为定值1，证明如下：因为P为线段AB上的一点，所以与共线，即存在实数λ使得＝λ(λ≥0)，所以＋＝λ＋λ，即＝＋.又，不共线，所以x＝，y＝，从而x＋y＝1.已知M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋，N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则x＝　　，y＝　　.解析：由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ.因为＝＋＝＋

25、λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝，所以＝.因为＝x＋y，所以8由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线，得解得　自测反馈　1.在正六边形ABCDEF中，＋＋＝　　.解析：根据正六边形的性质得＋＋＝＋＋＝＋＝.2.若a与b反向，且

26、a

27、＝

28、b

29、＝1，则

30、a－b

31、＝　2　.解析：由题意可得，a＝－b，所以

32、a－b

33、＝

34、－2b

35、＝2

36、b

37、＝2.3.已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－4＋3＝0，则＝　3　.解析：因为－4＋3＝0，所以－－3(－)＝0，所以＝3，即＝3，所以＝3.4.已知在△ABC中，

38、点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则xy＝　－　.解析：由题意得，＝，＝.因为＝＋＝＋＝＋(－)＝－，所以x＝，y＝－，所以xy＝－.1.向量是自由向量，可以任意平移，方向和大小是决定向量的两个要素.2.注意向量运算中的三角形法则，加法需首尾相连，减法需共起点.3.你还有哪些体悟，写下来：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8