资源描述：
《反函数求解与性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.第5讲：反函数【复习要求】1、理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。2、经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用与的性质解决一些问题．【教学重点】反函数的求法，反函数与原函数的关系．【知识要点】1、反函数的概念：对于函数，设它的定义域为，值域为，对应法则为，如果对于每一个值，都有唯一的，满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作，（）。2、求反函数的一般步骤：（1）解出；（2）互换、；（3）写出反函数的定义域（即原函数的值域）。注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。3、反函数的性质：（1）．互为反函数
2、的两个函数的图象关于直线y=x对称；即：两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y＝x上（2）．具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性相同。但反之不一定成立。（3）．互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性．（4）．一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）．函数y=f(x)的定义域是它的反函数的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函
3、数的定义域．（6）．若y=f(x)(x∈A)，与(x∈C)互为反函数，则有()()（7）．x=f(y)与是同一函数，因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同；（8）．的反函数；的反函数为：；..【典型例题】类型1：判断一个函数是否存在反函数例1、“函数在定义域上是单调函数”是“函数有反函数”的充分不必要条件。例2、判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）奇函数一定有反函数。（错，反例：三角函数）（2）偶函数一定没有反函数。（错，反例：f(x)=0）（3）原函数与其反函数交点必在直线上。（错反例：）例3、判
4、断下列函数是否存在反函数：（1）（无）（2）（有）（3）（无）例4、已知函数（定义域为，值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足。类型2：怎样求简单函数的反函数例5、求下列函数的反函数：（1）（2）（3）..类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用例6、解决下列有关反函数性质的相关问题：（1）、若函数互为反函数，则，3。（2）、函数的反函数的图象关于点（-2，-3）对称。（3）、已知函数的值。（）（4）、函数的图像与的图像关于直线对称，若的图像过点，则的值为__________；答案：例7、函数的图象关于对称，求的值．解：由得
5、，∴，由题知：，，∴例8、若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值．解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上，∴，∴，∴类型4：怎样求复合函数的反函数例9、已知，求【解】..例10、设，函数的图像与函数的图像关于直线对称，求的值。【答案】（-10）例11、（1）已知函数，求；（2）已知函数的图像经过点，函数的图像经过点，试求函数的表达式；【解】（1）先求，再求，最后求得，；（2）类型10：有关反函数的综合问题例12、已知，（1）求的反函数；（2）若不等式，对一切恒成立，求的取值范围。解：（1）（2）依题意得：对恒成立即：对恒成立令，则对恒成立
6、设当时，，舍；..当时，得：*例13、已知，是上的奇函数．（1）求的值；（2）求的反函数；（3）对任意的解不等式．解（1）由题知，得，此时，即为奇函数．（2）∵，得，∴．（3）∵，∴，∴，①当时，原不等式的解集，②当时，原不等式的解集【课后练习】A组1．函数的反函数是(D)A．B．C．D．2．函数的反函数是(B)A．B．C．D．3．函数在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(D)A．a∈(-∞,1]B．a∈[2,+∞)C．a∈[1,2]D．a∈(-∞,1]∪[2,+∞]4．函数的反函数图像是(C)..A．D．C．B．5．若函数是函数的反
7、函数，且，则(A)A．B．C．D．26．已知函数,若则实数a的取值范围是(C)A．B．CD7．设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数,f(4)=0,则=-28．若f(x)为一次函数,且,则f(x)=or9．若的反函数为自身,则a=-210．已知=(x<-1)，则=-211．已知函数的反函数是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值．a=2,b=1,c=-3．12．已知函数的图象与的图象关于直线y=x对称,求的值．提示：法2:由题设知的反函数g(x)，又的反函数为f(x)-1∴g(x)=f(x)-1∴..B组1．知函数，是的反函数，
8、若，则________；【答案】-22．若（其中），则函数与的图像关于对称．【答案】轴3．设函数的反函数为，且的图像经过点，则的反函数的图像必过点（）A、B、C、D
