电磁场理论课件 静电场(二)

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1、第二章静电场(二)§2-1静电场的唯一性定理及其应用§2-2平行双电轴法§2-3无限大导电平面的镜象法§2-4球形导体面的镜象§2-5无限大介质交界平面的镜象§2-6电容与电容的计算§2-7双输电线的电容§2-8多导体系统的部分电容§2-9带电导体系统的电场能量及其分布§2-10虚位移法计算电场力2§2-1静电场的唯一性定理及其应用处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。静电学中许多问题都涉及到有限空间区域，在区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具有确定的边界条件。现在有这样一个问题：要使区域内存在唯一的

2、、合理的解，问适合泊松方程的边界条件是什么？唯一性定理回答了这个问题。3一、静电问题的唯一性定理下面研究可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为εi。V内有给定的自由电荷分布。（i）电位（ii）电位的法向导数或则V内的电场唯一地确定。若给定V的边界S上可以证明“狄利克莱”边界条件“诺伊曼”边界条件或混合边界条件，4域Vi内满足泊松方程，并在V的边界S上满足给定的值。或在两均匀区域分界面上满足边值关系，也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区5如图，设在某区域V内有一些导体，扣除导体

3、外表面内所围区域以后剩下的区域为V’。设V’内给定电介质分布、给定自由电荷分布ρ，S上给定了二、有导体存在时的唯一性定理或当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电位；另一类是给定每个导体上的总自由电量Qi。6对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电介质分布和自由电荷分布，给定各导体上的总自由电量Qi以及V的边界S上的ϕ或∂ϕ/∂n值，则V’内的电场唯一地确定。当每个导体上的电位ϕi给定时（即给出了V’所有边界上的ϕ或∂ϕ/∂n

4、值），因而由唯一性定理可知，V’内的电场唯一地被确定。7在第i个导体上满足总自由电荷条件：和等势面条件：以及在V的边界S上具有给定的ϕ

5、s或(∂ϕ/∂n)

6、s值。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程在两均匀区域分界面上满足边值关系，8静电场唯一性定理的简明表述：若区域V内给定电介质分布和自由电荷分布ρ(x)，在V的边界S上给定（i）电位（ii）电位的法向导数或（如果V的边界面上和内部的导体上没有一处给定电位，那么V内的电场强度唯一确定，但电位ϕ不能完全确定，可以相差一个常量。）若区域内有导体存在，还要给定各导

7、体的电位或各导体所带的自由电量,则V内的电场唯一地确定。9三、唯一性定理的意义更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程、边值关系和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。10唯一性定理的应用——等位面法根据唯一性定理，若沿场的等位面的任意一侧，填充导电媒质，则等

8、位面另一侧的电场保持不变。如图2-4为两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(这里我们沿其内侧)填充导电媒质(见图2-5),则导电媒质以外之另一侧,其电场不变。图2-4两平行输电线的电场图2-5沿场的等位面一侧，填充导电媒质后的电场11因为这样处理之后：1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即，亦即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一

9、方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。12例2-1静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。解在物理学中，已知静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论是否接地，壳内的电场都不受壳外电荷的影响。作为唯一性定理的应用，我们来讨论上述结论。图2-6(a)表示一种情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电

10、场。图2-6例2-1图13图2-6(b)表示第二种情形。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，若在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有即电位移矢量的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根