高中数学第1章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性教案新人教A版

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1、第1课时　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3．掌握函数y＝sinx和y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过周期性和奇偶性的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的直观想象核心素养.1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T

2、)＝f(x)，那么这个函数的周期为T．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考：函数y＝

3、sinx

4、，y＝

5、cosx

6、是周期函数吗？[提示]　是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.1．下列函数中，周期为的是(　　)A．y＝sin　　B．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝cos4xD　[根据公式T＝可知＝，得ω＝4，故应选D

7、.]2．函数y＝2sin是(　　)A．周期为π的奇函数　B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数B　[y＝2sin＝2cos2x，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________．6　[由已知得f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】　求下列函数的周期：(1)y＝sin；(2)y＝

8、sinx

9、.思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．(2)作函

10、数图象，观察出周期．[解]　(1)法一：(定义法)y＝sin＝sin＝sin，所以周期为π.法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.1．本例(2)中函数变成“y＝

11、cosx

12、”，图象如何？[解]　作图如下：观察图象可知周期是π.2．本例(2)中函数变成y＝sin

13、x

14、或y＝cos

15、x

16、，图象如何？[解]　作图如下：由图象可知y＝sin

17、x

18、不是周期函数，y＝cos

19、x

20、的图象与y＝cosx图象相同，仍为周期函数，周期为2π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ω

21、x＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y＝

22、Asin(ωx＋φ)

23、(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.[解]　(1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.三角函数奇偶性的判断【例2】　(1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的

24、集合为________．(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝sin；②f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；③f(x)＝.思路点拨：(1)→→φ＝＋kπ(k∈Z)(2)(1)　[因为y＝cosωx为偶函数，y＝sinωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cosx或y＝－2cosx，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．](2)[解]　①显然x∈R，f(x)＝cosx，∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．②由得－1＜sinx＜1，解得定义域为，∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝

25、lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．③∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x