2019_2020学年高中数学第三章立体几何中的向量方法（第2课时）空间向量与空间角练习新人教A版

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1、第2课时空间向量与空间角[学生用书P143(单独成册)][A　基础达标]1．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1，l2所成角的余弦值为(　　)A．－　　　　　　　　　B．C．－D．答案：B2．(2019·衡水检测)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)A.B．C.D．解析：选C.如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.由于AB＝BC＝AA1，不妨取A

2、B＝2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)．所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线EF和BC1的夹角为，故选C.3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A.B．C.D．解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以＝(－2，0，1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面

3、BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2，2，0)．所以所求角的正弦值为

4、cos〈a，〉

5、＝＝＝.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是(　　)A．120°B．45°C．150°D．60°解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有可取n＝(1，0，

6、1)．又平面EAD的一个法向量为＝(1，0，0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.5．如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为(　　)A.B．C.D．解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.因为底面ABCD为菱形，所以OB⊥OC，O为AC的中点，又F是PC的中点，所以OF∥AP，所以OF⊥平面ABCD，所以OB，OC，OF两两垂直．以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，

7、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，＝(0，，0)，易知为平面BDF的一个法向量，由＝(－，，0)，＝(，0，－)，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角CBFD的正切值为.6．(2019·扬州检测)如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为α，则co

8、sα＝________．解析：设正方形ABCD的边长为2，由题意得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，2，0)，则＝(－2，2，0)，＝(1，2，－1)，所以cosα＝＝＝.答案：7．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，则A，B，

9、C，D，所以＝，＝，＝.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.答案：8．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．由此

10、易求出所求锐二面角的余弦值为＝.答案：9.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，∠BCA＝90°，点F1是A1C1的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1.(1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；(2)求直线AF1与平面BCC1B1所