2019_2020学年高中数学第2章函数2.2.1函数的单调性（第1课时）函数的单调性讲义苏教版必修1

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1、第1课时　函数的单调性学习目标核心素养1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2.会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3.会求函数的单调区间．(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1f(x2)①称y＝

2、f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]　不能．如图所示，虽是f(－1)

3、(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．(　　)(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√[提示]　(1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．2.函数f(x)的图象如图所示，则函数的单调递增区间是_____．[－1,2]　[在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，

4、f(x)随着x的增大而增大，∴在[－1,2]上，f(x)为增函数．]3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________．a＜b　[由减函数的定义知a＜b.]利用函数图象求单调区间【例1】　作出下列函数的图象，并写出单调区间．(1)y＝x2－4；(2)y＝－；(3)f(x)＝思路点拨：在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．[解]　三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1)　　　　　(2)　　　　　　(3)(1)y＝x2－4的单调递

5、减区间为(－∞，0]，递增区间为[0，＋∞)．(2)y＝－的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．(3)f(x)的单调增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，递减区间为[0,2]．1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．1．函数f(x)＝－x2＋

6、x

7、(x∈R)的单调递增区间为_____

8、___．，　[(1)f(x)＝－x2＋

9、x

10、＝图象如图所示：∴f(x)的单调增区间为，.]函数单调性的判断与证明【例2】　用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．思路点拨：解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[证明]　设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．用定义证明(判断)函数单调性的步骤2．

11、证明函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．[证明]　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x11，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.又x1

12、，如果f(x)在D上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示]　能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．【例3】　已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f(x－2)