从边界元法研究亲身体验数值方法研究的一些误区-姚振汉

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1、北京力学会第23届学术年会2017USTB从边界元法研究亲身体验数值方法研究的一些误区姚振汉（清华大学航天航空学院工程力学系，100084）摘要作者基于37年边界元法研究的亲身经历，体验到边界元法研究的最大误区是将自身的精度验证依赖于和简单问题解析解或相应问题边界元解的比较，从而导致在工程应用中越来越被边缘化。为了摆脱这种依赖，作者从误差分析出发，提出了一种新的高精度边界元法，并正在引人快速算法发展新的高性能边界元法。作者还体验到，在数值方法研究中存在一个普遍的误区，就是只通过少数简单的考题来验证方法的有效性、精度与效率，并对不同方法进行比较。梁板壳的有限元分析通过了许

2、多标准考题的验证，但是当最大应力出现在梁的端部或板壳边界的情况下，所得的局部应力就是很不准确的。因此作者将真实梁板壳的局部应力分析作为高精度与高性能边界元法的突破点来加以研究。本世纪以来快速算法的引入，使边界元法研究者看到了边界元法用于复杂工程问题的广阔前景，但是很少注意到快速算法附加误差对结果可靠性和精度的重要影响，这是研究中的又一个重要误区。只有克服了这个误区，才能使边界元法真正成为有限元法不可或缺的重要补充。关键词：边界元法，高精度边界元法，高性能边界元法，误差分析，真实梁板壳一、引言作者1979年进入边界元法研究领域以来，亲身经历了它在深度广度上不断取得的进展[

3、1]，但在工程应用中却越来越被边缘化。探究其原因，边界元法文献中自身的精度验证总是依赖于和简单问题解析解或相应问题边界元解的比较。于是，从工程应用来看，既然两者结果吻合，当然用已经熟悉的有限元法就行了；即使从边界元法研究来说，虽然高精度是本身固有的优势，但若对某种复杂问题没有可靠的有限元解来做比较，对自身结果也似乎缺乏自信了。因此边界元法研究的第一个根本误区就是精度验证中对于有限元等其它方法的依赖。为了摆脱这种依赖，作者从误差分析出发[2]，提出了一种新的高精度边界元法[3,4]，并正在引人快速算法发展新的高性能边界元法。在数值方法研究、不仅仅是边界元法研究中，一个普遍

4、的误区是，只通过少数简单的考题来验证方法的有效性、精度与效率，并对不同方法进行比较。这样的验证是不充分的，比较也是不全面的。梁板壳的有限元分析通过了许多标准考题的验证，但是当最大应力出现在梁的端部，或板壳的边界的情况下，基于梁板壳理论的局部应力分析结果都是不准确的，因为那里梁板壳的基本假设都不满足。为了得到可靠的局部应力结果，应该建立真实梁板壳的计算模型，保持结构的端部或边界的实际几何和边界条件，然后与相连的基础或相邻结构一起进行分析。这就是真实梁板壳的局部应力分析，也是作者发展高精度与高性能边界元法时选定的突破点。上世纪末到本世纪初，随着快速算法的引入使边界元法研究者

5、看到了用于复杂工程问题的广阔前景，但是还很少注意到快速算法附加误差对结果可靠性和精度的重要影响[5-7]。文献中通常看到的是成功案例，很少提供失败的结果。这是研究中又一个重要的误区。只有克服了这个误区，才能使边界元法成功地分析各种复杂的大规模工程实际问题，并真正成为有限元法不可或缺的重要补充。第二节简述高精度、高性能边界元法的基础工程数值方法的误差分析与高精度分析流程，并介绍数值分析中与此相关的一些误区。第三节给出几个仅用简单算例验证精度不可靠、不全面的算例。第四节以一种真实悬臂薄板梁和悬臂薄板为例，显示梁板壳理论在局部应力分析中的失效。第五节用几个简单算例来显示快

6、速算法附加误差对结果可靠性和精度的513北京力学会第23届学术年会2017USTB影响。最后是简单的结束语。二、工程数值方法的误差分析、高精度分析流程与相关误区2.1工程实际问题建模与求解过程中误差的引人与高精度数值方法的求解过程图1三类误差的引入和控制流程如图1所示在工程实际问题的建模与求解过程中，先后将会引入模型误差、离散误差和计算误差。这是三类不同性质的误差，因此在高精度数值方法的求解过程中必须分别加以严格的控制，才能得到满意的高精度计算结果。图2则给出了具体流程。图2控制三类误差的具体流程2.2相关的一些误区为方便起见，下面以结构的弹性应力分析问题为例。图2中红

7、边标出的是一个基本的计算模块，为了控制离散误差，一般需要经过网格细分反复计算多次。而每次计算中都要严格控制计算误差。而初学者往往以为有了好的有限元分析软件，计算一次就能得到满意的结果。其实这也是一个误区。只有当初始给定模型参数合适，或不考虑模型误差，并且对该问题有足够经验，初始网格就是足够细分的网格的情况下，514北京力学会第23届学术年会2017USTB才能一次计算成功。从数值方法研究来说，无论边界元法、有限元法，或者其它的工程数值方法，不能指望采用了高精度或高性能的单元，就不必重视网格的合理细分，对于任何复杂问题都能得到满意的计算结果