高中数学第一章第3课时课堂探究学案

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1、1.4三角函数的图象与性质（第3课时）课堂探究探究一三角函数奇偶性的判断1．判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶函数．【典型例题1

2、】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝sinxsin.思路分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而可确定函数的奇偶性．解：(1)f(x)的定义域为R，∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(2)f(x)有意义时，sinx＋1≠0，∴sinx≠－1.∴x≠2kπ－，k∈Z.∴f(x)的定义域为.∴f(x)的定义域不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)f(x)的定义域为

3、R，由已知可得f(x)＝sinxcosx，∴f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．探究二正、余弦函数的单调性1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)或函数y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω≠0)单调区间的方法：运用整体变量代换法，即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角u，利用基本三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间，但要注意A，ω的符号对单调性的影响．A>0与A<0时，单调区间相反，当ω<0时，先用诱导公式将x的系数化为正．例如：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调递增区间

4、、递减区间分别由以下不等式确定：－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)．2．比较三角函数值的大小时：(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式化为同一单调区间；(3)利用函数的单调性比较大小．【典型例题2】(1)函数y＝2sin的单调递增区间为__________．(2)已知a＝sin，b＝sin，则a，b的大小关系是__________．解析：(1)∵y＝2sinx的单调递增区间是，k∈Z.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.∴所求的单调递增区间为，k∈Z.(2)a＝－sin＝－sin＝si

5、n.b＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝sin.∵0<<<，y＝sinx在上是增函数，∴sin>sin.∴a>b.答案：(1)，k∈Z　(2)a>b探究三三角函数的值域(最值)三角函数最值问题的常见类型及求解方法(1)y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值．【典型例题3】(1)函数f(x)＝2sin－1，x∈的值域为__________．当x＝____

6、______时，f(x)取最小值，当x＝__________时，f(x)取最大值．(2)函数f(x)＝2cos2x－4cosx＋1，x∈R的值域为__________；且当f(x)取最大值时，x的取值集合是__________．思路分析：(1)先利用x∈求出x＋的范围，再将x＋看成整体利用正弦函数图象性质求得．(2)把cosx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．解析：(1)∵－≤x≤，∴－≤x＋≤.∴由正弦函数图象性质得，当x＋＝－，即x＝－时，sin取最小值－，∴f(x)的最小值为－2.当x＋＝，即x＝时，sin取最大值1，∴f(x)的最大值为1.当x∈时，

7、f(x)的值域为[－2,1]．(2)f(x)＝2cos2x－4cosx＋1＝2(cos2x－2cosx)＋1＝2(cosx－1)2－1，设t＝cosx，∴y＝2(t－1)2－1，且图象开口向上，对称轴为t＝1.∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.则当t∈[－1,1]时，函数y＝2(t－1)2－1单调递减．∴当t＝－1时，ymax＝7，当t＝1时，ymin＝－1.∴f(x)的值域为[－1,7]，且cosx＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，f(x)取最大值．∴f(x)取最大值时，x的取值集合为{x

8、x＝2kπ＋π，k∈Z}．答