3.1.2数学归纳法应用举例

《3.1.2数学归纳法应用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法的定义证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.资完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.从数学归纳法的定义我们可以看出，它强调的就是两个基本步骤.数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.缺步

2、骤（2），则证明就是“一叶障目，以一代全”不能保证命题对所有的自然数n都成立；而缺步骤（1），则证明就成了“空中楼阁”，也难以保证命题对所有自然数n都成立.我们通常称第（1）步为奠基步骤.记忆要诀总结以上的分析，归纳如下：“奠基步骤不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.”如果同学们能正确地理解了数学归纳法证明的要义，才能轻松自如地运用它，而不致误用.误区警示数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.疑问：既然第（2）步已经证明了任两

3、个连续自然数对应的命题的递推关系，那么第（1）步是否是多余的？请看如下例子：对于欲证的命题：1+2+3+…+n=n(n+1)+1.第二步证明为:若n=k时命题成立，即1+2+3+…+k=k(k+1)+1,则当n=k+1时，1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)+1+(k+1)=(k+1)(k+2)+1,即当n=k+1时命题也成立.但我们会发现：当n=1时，左式=1，右式=2，显然命题不成立.辨析比较归纳法与数学归纳方法我们在研究问题时，还常常用到如下的一种思维方法，即从特殊到一般的思维方法

4、，举例如下：1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,我们由此发现并得出如下结论：1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1=n2(n∈N).这就是考察具有1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论.这种思维方法（或推理方法）我们称之为归纳法.由归纳法得到的结论未必正确，接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性.确认的方法是什么呢

5、？或许结论不正确，那么可寻找一反例推翻该结论；或许结论是正确的，那么我们需对此予以严格的证明.如何证明？注意到1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2（n∈N），实际上是n=1，2，3，…的无穷多个等式的概括写法，因此要证明上述等式，就需要对n=1，2，3，…的无穷多个等式逐一证明.事实上，这是做不到的.因此需要一种用以证明这种结论的一般证明方法，这种证明方法就是数学归纳法.从上述可知，归纳法和数学归纳法是有区别的.归纳法只是我们从特殊到一般的思维方法，它归纳的结论未必正

6、确，而数学归纳法是一种变态的演绎法，是证明与自然数有关的某些命题的方法.二、数学归纳法的特点1.无穷性：数学归纳法所证明的与自然数有关的命题，实际上就是关于自然数的无穷性命题，命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的，所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了命题无穷性的正确.2.有穷性：与自然数有关的命题具有无穷性，但是数学归纳法的基本步骤是有穷的，仅仅只有两个步骤，但这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.三、数学归纳

7、法的核心在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃.深化升华如何理解第二步骤？能否正确理解它关系到我们能否正确运用数学归纳法证题.同学们知道无穷多块多米诺骨牌倒下的两个必要条件：(1)起始的第一块骨牌倒下；(2)如果任意相邻的两块骨牌中前一块倒下导致后一块倒下.那么我们就可保证在启动第一块骨牌后，所有的骨牌都会倒下.上述数学归纳法的两个步骤，是否很像多米诺骨牌

8、的两个必要条件.资数学归纳法的第（2）步要做的是证明一种递推关系，即由n=k（k∈N，k≥n0）时命题成立去证明n=k+1时命题成立，而“n=k时命题成立”是作为导出“n=k+1时命题成立”的前提，因此采用了“假设当n=k（≥n0）时命题成立”的形式.切勿理解为n=k时，命题是果真成立，它只不过是为了导出n=k+1时命题成立的一个假设罢了，也正因为如此，在推证n=k+1时的命题时，需用到n=k时所假设的命题.（我们通常把这一假设称为“归纳假设”）典题·热题知识点一：数学归纳法的定义例1求证：12