高阶差分方程

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1、第六章高阶差分方程在离散时间分析中可能出现这种情况：t期的经济变量，比如yt，不仅取决于yt-1，而且取决于yt-2。这样便引出了二阶差分方程。严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2yt，但不含高于二阶差分的方程。Δ2yt读作yt的二阶差分。而符号Δ2是符号d2y／dt2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt+1-yt)=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt因此，yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像Δ2yt和Δ

2、yt这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。具有常系数和常数项的二阶线性差分方程一类简单的二阶差分方程的形式为：yt+2+a1yt+1+a2y=c6.1读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a1，a2）和常数项c的差分方程。二阶差分方

3、程的通解是由余函数和特别积分构成：yt＝yc+yp。特别积分是6.26.2’6.2’’为求出余函数，我们必须集讨论简化方程yt+2+a1yt+1+a2y＝06.3解一阶差分方程的经验告诉我们，Abt式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为yt＝Abt的解，它自然意味着yt+1＝Abt+1，等等。我们的任务便是确定A和b的值。将试探解代入简化方程，方程变成Abt+2+a1Abt+1+a2Abt＝0或在消去（非零）共同因子Abt后，有b2+a1b+a2＝06.3’此二阶差分方程的特征方程与二

4、阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：6.4对解Abt中的b而言，上述每个根都是可接受的。事实上，bl和b2均应在齐次差分方程的通解中出现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的任意乘积常数。与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。第一种情况（不同的实根）：当a12＞4a2时，b1和b2为不同的实根。在这种情况下，b1t和b2t线性无关，余函数可以简单地写成b1t和b2t的线性组

5、合，即yc=A1b1t+A2b2t。6.5第二种情况（重实根）：当a12＝4a2时，特征根为重根：b（＝b1＝b2）＝-a1／2。现在若将余函数表示为如不同实根时的形式，则两部分将合并为一项：A1b1t+A2b2t＝（A1+A2）bt≡A3bt此式无效，因为现在缺一个常数。为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应与A3bt项线性无关），还需要以变量t乘bt这个老方法。这样这个新的项可取A4tbt形式。它与A3bt项线性无关是很明显的，因为我们永远不能给A3bt项加上一个常系数而得到A4tbt。A4tbt像

6、A3bt一样，确实可以作为简化方程的解这一事实，可以很容易得到验证：只需将yt=A4tbt[和yt+1=A4（t+1）bt+1等]代入简化方程，便可以看到该方程是一个恒等式。因此，重实根情况下的余函数为：yc=A3bt+A4tbt6.6例：求下列方程的通解（1）；（2）；（3）解：（1）该方程的特别积分为：该方程的特征方程为：b2-10b+16=0，所以特征根为：所以，因此，方程的通解为若给定y0=10和y1=36，可求出该方程的特解：令t=0和t=1则：按照初始条件，令y0=10和y1=36，则A1+A2

7、+2=102A1+8A2+2=36联立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入通解中可得特解：（2）该方程的特别积分为：该方程的特征方程为：b2-6b+5=0，所以特征根为：所以，因此，方程的通解为(3)该方程的特别积分为：该方程的特征方程为：b2-2b+1=0，所以特征根为：所以，因此，方程的通解为第三种情况（复数根）：当a12＜4a2时，b1和b2为一对共轭复数根。具体地，根的形式为h±vi，其中6.7因此，余函数变成：yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t上式表明，解释y

8、c并不容易。但幸运的是，由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三角函数，而三角函数我们已知如何解释。具体如下。若将v=Rsinθ，h=Rcosθ，则共轭复数可以变换如下：h±vi＝Rcosθ±Risinθ＝R（cosθ±isinθ）。进而，由欧拉关系（即eiθ=cosθ+isinθ，e-iθ=cosθ-isinθ）可再写成h±vi＝Re±iθ。则相应地（h+vi）n＝(Reiθ)n=Reinθ类似地，（h-vi）n＝