高二数学竞赛讲义 欧拉、威尔逊定理 2

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1、高二数学竞赛班二试讲义第2讲欧拉定理、威尔逊定理班级姓名一、知识点金1．算术基本定理：任何一个正整数，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，其中。均为素数，为非负整数。记是的正约数的个数，是的正约数的和，则，2．为平方数的充分必要条件是为奇数3．完系和缩系：在模的个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的个数称为模的一个完全剩余系，简称完系。如果和互素，则易知同余类中所有数都和互素，这样的同余类称为模缩同余类，我们将模缩同余类的个数记作，称为欧拉函数。在个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的个数称为模的一个缩剩余系，简

2、称缩系（也称简系）。4．设，是任意整数。（i）是模的完系。叫做模的生成元。（ii）若是模的完系，则也是模的完系。（iii）若是模的缩系，则也是模的缩系。证明：，（i）假设，，则，因为，所以，矛盾！（ii）假设，，则，所以，矛盾！（iii），假设，，则，矛盾！5．欧拉函数，它表示不大于且与互素的正整数的个数，设，均为素数，则。因此，若，则证明：由容斥原理因为，则没有相同素因子，由公式易得6．欧拉定理：设，则证明：当时，若是模的缩系，则也是模的缩系。所以，即，所以费尔马小定理：为素数，且，则。即为素数，且，证明：当为

3、素数，且时，，，由欧拉定理得费尔马小定理的推论：为素数，对任意正整数，都有。57．威尔逊定理：设为素数，则证明：若，则由4（iii）可知，存在使得。我们称为关于模的逆，记作或。当时结论显然成立。如，由上述结论知，对每个，，有唯一的，使得当时，等价于，则所以个数可配为对，每对满足。因此，二、例题分析例1．（1）证明：完全平方数模4同余于0或1（2）证明：奇数的平方模8同余于1（3）证明：完全立方数模9同余于0，1例2．设是奇数，为正整数，证明：例3．设是不同的奇素数，，则，反之亦然。5例4．若正整数满足，则称为完全

4、数。证明：偶数为完全数的充分必要条件是，且是素数。三、同步检测1．设，是素数。证明：若，则。2．证明：有无穷多个形式的素数，也有无穷多个形式的素数（为正整数）。3．设是给定的正整数。证明：存在连续个正整数，其中每一个都不是素数。54．设是偶数，与都是模的完系。证明：不是模的完系。5．设是素数，与都是模的缩系。证明：不是模的缩系。6．设是一个素数，为正整数，则（1），对成立。（2），对成立。5第2讲欧拉定理、威尔逊定理例1．证明略例2．对归纳。时易证。假设时结论成立，即，两边平方，则，所以例3．，知，所以，由费尔马

5、小定理，，所以同理例4．设，其中。由公式得出，故，但及都是的约数，而为的所有正约数之和，故只有这两个约数，即为素数，且1．由带余除法得2．设形如的素数只有有限多个，设为，考虑奇数，易知，故有素数因子。如果这些素数因子都是形式，则它们的积也是这种形式。但是的形式，从而必有一个素数因子形如，又显然不同于，矛盾。3．可取4．反证法：假设有一组与使是模的完系，则即。因为是偶数，这不能成立。5．由威尔逊定理，模的任一缩系的乘积6．（1）因，故，但显然，所以。（2）因，故，对归纳得出证明。5