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时间:2019-10-31
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1、数列难点概要数列通项的求法一.高考数列知识及方法应用(参见最新考纲)二.二阶高次递推关系1.因式分解降次。例:正项数列{an},满足,求an(化异为同后高次)2.两边取对数降次。例:正项数列{an},a1=1,且an·an+12=36,求an三.线性递推数列的特征方程法定理1:若数列{an}的递推关系为an+2=λ1an+1+λ2an,则设特征方程x2=λ1x+λ2,且此方程有相异两根x1,x2(x1≠x2),则必有an=c1x1n+c2x2n,其中c1,c2由此数列已知前2项解得,即或由得到。(见训练及考试题)定理2:若方程x2=λ1x+λ2有相等重根x0,则
2、有an=(c1+c2n)x0n,其中c1,c2仍由定理1方程组解得。例如.:1已知.数列满足,求数列的通项公式2.数列中,设且,求数列的通项公式3.数列满足:证明:(1)对任意为正整数;(2)求数列的通项公式。4已知.数列满足都有,求数列的通项公式四.特殊递推的不动点法(f(x)=x的解称为f(x)的不动点)定理1:若数列{an}满足递推:an+1=a·an+b(a,b∈R),则设x=ax+b,得不动点且数列递推化为:an+1-x0=a(an-x0),进而用构造法解得。定理2:若数列{an}满足:,则设,得不动点x1,x2,若x1≠x2,则原递推化为:,再由构造
3、法解得。若x1=x2=x0,即有唯一不动点x0时,原递推可化为:,再由构造法解得。例如:1,在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求该数列的通项an2,已知.数列满足:,求该数列的通项an3,已知.数列满足:,求该数列的通项an五.递推构造法1.若数列递推满足an+1=k1an+k2·2n,注意构造变形为(an+1+A·2n+1)=k1(an+A·2n-13-),展开后与原递推相同,求出A得值,再化为等比数列解决。1.若数列递推满足an+1=k1an+k2n2+k3n,注意构造变形为(an+1+A(n+1)2+B(n+1)+c)=k1(a
4、n+An2+Bn+c),展开后与原递推相同而求出A,B,C的值,再化为等比数列解决。2.若数列为an+1=-3an+2n-n呢?例如:1求所有a0∈R,使得由an+1=2n-3an(n∈N)所确定得数列a0,a1,a2,…是递增的。2某运动会开了n天,共发出m枚奖牌:第一天发出1枚加上余下的,第二天发出2枚加上余下的;如此持续了天,第n天发出n枚.该运动会开了__天,共发了__枚奖牌.后注:以上方法相辅相成,不可孤立理解,当条件不符合时不可随意应用。例:若不知a1,a2的确定值,an+2=2an+1+3an都不可以用特征方程法。附:求数列通项训练1.在德国不莱梅
5、举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则;(答案用n表示).2.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=_____.3.函数f(x)=的最小值为()A.190B.171C.90D.454.设是公差为正数的等差数列,若,,则A.B.C.D.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,
6、且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=()A.100B.101C.200D.2016.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于A.B.C.D7.已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(3)记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1.8.已知有穷数列共有2项(整数≥2),首项=2.设该数列的前项和为,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常数>1.
7、(1)求证:数列是等比数列;(2)若=2,数列满足=(=1,2,┅,2),求数列的通项公式;(3)若(2)中的数列满足不等式
8、-
9、+
10、-
11、+┅+
12、-
13、+
14、-
15、≤4,求的值.9.设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2){an}的通项公式.10.已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(1)若,求;(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2
16、)类似的问题((2)应当
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