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《2018届高考数学第三部分题型指导考前提分题型练6大题专项四综合问题理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC所成角为60°,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,点G为△ABC的重
2、心,点E在BC1上,且BE=BC1.(1)求证:GE∥平面AA1B1B;(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值.-11-3.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.-11-在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D
3、,且PD=PC=.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.-11-6.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿
4、AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.(1)求四棱锥B1-AECD的体积;(2)证明:B1E∥平面ACF;(3)求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值.-11-参考答案题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题1.解由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0)
5、,其中m=BQ,0≤m≤6.(1)证明若P是DD1的中点,则P又=(3,0,6),于是=18-18=0,所以,即AB1⊥PQ.(2)由题设知,=(6,m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.-11-设n1=(x,y,z)是平面PQD的一个法向量,则取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以cos=.而二面角P-QD-A的余弦值为,因此,解得m=4或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).设=(0<λ≤1),而=(
6、0,-3,6),由此得点P(0,6-3λ,6λ),所以=(6,3λ-2,-6λ).因为PQ∥平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一个法向量是n3=(0,1,0),所以n3=0,即3λ-2=0,亦即λ=,从而P(0,4,4).于是,将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4.故四面体ADPQ的体积V=S△ADQ·h=6×6×4=24.2.(1)证明连接B1E,并延长交BC于点F,连接AB1,AF.∵ABC-A1B1C1是三棱柱,∴BC∥B1C1,∴△EFB∽△EB1C1
7、.∵BE=BC1,,∴BF=BC,∴F是BC的中点.∵点G是△ABC的重心,∴点G在AF上,且,∴GE∥AB1,∴GE∥平面AA1B1B.(2)解过点A1作A1O⊥AB,垂足为O,连接OC.∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,∴A1O⊥底面ABC,∴∠A1AB=60°.∵AA1=2,∴AO=1.∵AB=2,∴点O是AB的中点.又点G是正三角形ABC的重心,∴点G在OC上,∴OC⊥AB,∵A1O⊥底面ABC,∴A1O⊥OB,A1O⊥OC,以O为原点,分别以OC,OB,OA所在直线为x,y,z-11-轴
8、建立如图空间直角坐标系O-xyz.由题意可得:A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),A1(0,0,),B1(0,2,),C1(,1,),则G,,∴E,设n=(x,y,z)是平面B1GE的一个法向量,则令z=,则x=,y=-1,∴n=(,-1,).易知=(0,0,)是平面ABC的一个法向量,设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角为θ,则有cosθ=3.(1)证法一如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.
