2017_18学年高中数学第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换学案

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1、1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．直角坐标系(1)直线上点的坐标在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．(2)平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．(3)空间直角坐标系过空间中一个定点O，作三边互相垂直

2、且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换设点P(x，y)是平面上的任意一点，在变换(a>0，b>0)的作用下，变为平面上的新点Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换．[小问题·大思维]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发

3、生变化？提示：伸缩变换中的系数a>0，b>0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．[对应学生用书P1]8用坐标法求轨迹方程[例1]　已知点H(－3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·＝0，＝－.当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.[思路点拨]　设出动点M(x，y)，将·＝0，＝－，坐标化后建立x，y的关系式可求得．[精解详析]　设M(x，y)，P(0，y′)，Q(x′，0)(x′>0)，∵＝－，·＝0，∴(x，y－y′)＝－(x′－x，－y)，且(3，y′)·(x，y

4、－y′)＝0，∴①3x＋yy′－y′2＝0.②将①代入②式得y2＝4x(x>0)．即动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,1)，P是动点，且三角形

5、POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.求点P的轨迹C的方程．解：设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOP＋kOA＝kPA得，8＋＝，整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1).用坐标法解决几何问题[例2]　已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[思路点拨]　本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．[精解详析]　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a,0)，C(a,0)

6、，A(0，h)，则直线AC的方程为y＝－x＋h，即hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝x＋h，即hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式得

7、BD

8、＝，

9、CE

10、＝，∴

11、BD

12、＝

13、CE

14、，即BD＝CE.(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标

15、系等．2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点．求E，F两点间的距离．8解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，∴E(1，，1)，F(，，0)．∴

16、EF

17、＝＝，即E，F两点间的距离为.平面上的伸缩变换[例3]　在同一坐标系下经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了什么曲线？[思路点拨]　将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．[精解详析]　∵∴代入圆的方程x

18、2＋y2＝1，有2＋2＝1，∴＋＝1.∴经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了椭圆＋＝1.利用坐标伸缩变换求变换后的曲线方程，其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程．3．在同一直角坐标系中，将直线2x－y＝