2019_2020学年高中数学第1章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换讲义新人教B版

《2019_2020学年高中数学第1章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换讲义新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.1　直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1　直角坐标系1.1.2　平面上的伸缩变换学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点)1．直角坐标系(1)直线上点的坐标①点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．(2)平面直角坐标系①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组(x，y)为点

2、M的坐标．②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．(3)空间直角坐标系①过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．②在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换把点P(x，y)变为平面上新的点Q(X，Y)，伸缩变换的坐标表达式为：，其中a>0，b>0.特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2

3、)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q(X，Y)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．思考1：如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？[提示]　①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．思考2：如何理解点的坐标的伸缩变换？[提示]　在平面直角坐标系中，点P(x，y)变换到点Q(X，Y)．当a>1时，是横向拉伸变换，当0

4、<1时，是横向压缩变换；当b>1时，是纵向拉伸变换，当0

5、倍[答案]　B3．将点P(－2,2)变换为点Q(－6,1)的伸缩变换公式为(　　)A．B．C．D．[解析]　将与代入到公式φ：中，有∴[答案]　C4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为________．[解析]　由得代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.∴变换后的曲线方程为＋＝1.[答案]　＋＝1运用坐标法解决平面几何问题【例1】　已知▱ABCD，求证：

6、AC

7、2＋

8、BD

9、2＝2(

10、AB

11、2＋

12、AD

13、2)．[思路探究]　从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C

14、，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．[解]　法一　(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E(，)，由对称性知D(b－a，c)，所以

15、AB

16、2＝a2，

17、AD

18、2＝(b－a)2＋c2，

19、AC

20、2＝b2＋c2，

21、BD

22、2＝(b－2a)2＋c2，

23、AC

24、2＋

25、BD

26、2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，

27、AB

28、2＋

29、AD

30、2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴

31、AC

32、2＋

33、BD

34、2＝2(

35、AB

36、2

37、＋

38、AD

39、2)．法二　(向量法)在▱ABCD中，＝＋，两边平方得2＝

40、

41、2＝2＋2＋2·，同理得2＝

42、

43、2＝2＋2＋2·，以上两式相加，得

44、

45、2＋

46、

47、2＝2(

48、

49、2＋

50、

51、2)＋2·(＋)＝2(

52、

53、2＋

54、

55、2)，即

56、AC

57、2＋

58、BD

59、2＝2(

60、AB

61、2＋

62、AD

63、2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．2．证法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．证法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简

64、捷明快之感．1．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使

65、PA

66、2＋

67、PB

68、2＋

69、PC

70、2最小，并求出此最小值．[解]　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(0，a)，B(－，0)，C(，0)．设P(x，y)．则

71、PA

72、2＋

73、PB

74、2＋

75、PC

76、2＝x2＋(y－a)2＋(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3