2019_2020学年高中数学第1章解三角形章末复习课学案新人教B版必修5

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1、第1章解三角形利用正弦、余弦定理解三角形【例1】　如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．[解]　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，由余弦定理，得cosC＝＝，∴sinC＝.在△ADC中，由正弦定理，得＝，∴AD＝×＝.解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知∠A、∠B和c，由∠A＋∠B＋∠C＝π求∠C，由正弦定理求a、b．(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和∠C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用∠A＋∠B＋∠C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和∠A，

2、应先用正弦定理求∠B，由∠A＋∠B＋∠C＝π求∠C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求∠A、∠B、∠C．1．如图所示，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解]　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×co

3、sB＝82＋52－2×8×5×＝49，所以AC＝7.三角变换与解三角形的综合问题命题角度1　三角形形状的判断【例2】　在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[解]　法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC．∵∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC．展开整理得sinC＋cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°<∠C<120°，∴∠C＋30°＝90°.∴∠C＝60°，则∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB．∵∠B＝60°，b＝，∴2＝a2＋c2－

4、2accos60°，化简得(a－c)2＝0.∴a＝c．又∠B＝60°，∴a＝b＝c．∴△ABC为等边三角形．命题角度2　三角形边、角、面积的求解【例3】　△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB．(1)求∠B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．[解]　由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．又∠A＝π－(∠B＋∠C)，∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC≠

5、0，∴cosB＝sinB且∠B为三角形内角，∴∠B＝.(2)S△ABC＝acsinB＝ac，由正弦定理知a＝＝×sinA＝2sinA，同理，c＝2sinC，∴S△ABC＝×2sinA×2sinC＝2sinAsinC＝2sinAsin＝2sinA＝2(sinAcosA＋sin2A)＝sin2A＋1－cos2A＝sin＋1，∴当2∠A－＝，即∠A＝时，S△ABC有最大值＋1.该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．2．在△A

6、BC中，a，b，c分别是三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若a＝2，∠C＝，cos＝，求△ABC的面积S.[解]　因为cosB＝2cos2－1＝，故∠B为锐角，所以sinB＝，所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.由正弦定理，得c＝＝，所以S△ABC＝acsinB＝×2××＝.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4】　如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要

7、在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究]　假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28海里，BC＝20海里．根据正弦定理得