2019_2020学年高中数学第3章不等式章末复习课学案新人教A版必修5

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1、第3章不等式一元二次不等式的解法[探究问题]1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？[提示]　借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x

2、x<α或x>β}．2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？[提示]　解集为{x

3、α0的解集是什么？[提示]　当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为∅.【例1】　若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．思路探究：不

4、等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．[解]　由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2∉.(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为∅.(3)当－<－k，即k<时，不等式的解集为.∴不等式组的解集由或确定．∵原不等式组整数解只有－2，∴－2<－k≤3，故所求k的范围是－3≤k<2.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0”．[解]　(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解

5、集为{x

6、x>0}．(2)若a>0，Δ＝4－4a2.①当Δ>0，即01时，原不等式的解集为∅.(3)若a<0，Δ＝4－4a2.①当Δ>0，即－10，∴原不等式的解集为{x

7、x∈R且x≠－1}．③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；　当0

8、x>0}；当－1

9、0时，原不等式的解集为；当a＝－1时，原不等式的解集为{x

10、x∈R且x≠－1}；当a<－1时，原不等式的解集为R.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法．①将不等式化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．(2)含参数的一元二次不等式．解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．不等式恒成立问题【例2】　已知不等式mx2－mx－1<0.(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数

11、m的取值范围；(3)若满足

12、m

13、≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题．[解]　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立⇔解得－40时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0

14、)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．综上所述，实数m的取值范围是.(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，若对满足

15、m

16、≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需即解得g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.(3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．1．设f(x)＝mx2－mx－6＋m，(1

17、)若对于m∈[－2，2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)依题意，设g(m)＝(x2－x＋1)m－6，则g(m)为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝＋>0，所以g(m)在[－2，2]上递增，所以欲使f(x)<0恒成立，需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，解得－1