2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版

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1、第1章导数及其应用第一课　导数及其应用导数的几何意义及其应用【例1】　已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解]　(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′

2、x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′

3、x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋

4、.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0.∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2.∴切点为(2,4)或.∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点

5、处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．1．(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．(填序号)(1)2　(2)②　[(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′＝2.(2

6、)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．]函数的单调性与导数【例2】　已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路探究]　研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所

7、以要分类讨论．[解]　(1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0.故实数a的取值范围是a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．因为－1

8、，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)<0，得到函数f(x)的递减区间．注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．2．设函数f(x)＝alnx＋(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋＝.当a≥0时，

9、f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝，x2＝.因为x1＝＝＞0，所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)＞

10、0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当