2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.2应用举例（第2课时）角度问题学案新人教A版必修5

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1、第2课时　角度问题学习目标核心素养1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)．通过研究利用正弦定理和余弦定理在解决与角度有关的实际问题，提升学生的数学建模与数学运算素养.1．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：[0°，360°)．2．视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度．思考：方位角的范围为什么不是(0，π)?[提示]　方位角的概念表明，“从正北

2、方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0，2π)．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是(　　)A．α＞β　　B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°B　[由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.]2．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)A．10°B．50°C．120°D．130°D　[如图所示：∠BAC＝130°.]3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则A、C两地的距离为________公里

3、．7　[如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2·cos150°＝49，AC＝7.所以A、C两地的距离为7公里．]角度问题【例1】　(1)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　　B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是(　　)A．，60°B．，60°C．，30°D．，30°(1

4、)D　(2)B　[(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝2m，则AE＝＝2m，∴tan∠DAE＝＝＝，∴∠DAE＝60°.]测量角度问题画示意图的基本步骤1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________

5、，大小为________km/h.60°　20　[如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.]求航向的角度【例2】　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？②在△ABC中，能求出BC与∠ABC吗？③在△BCD中，如

6、何求出∠BCD?[解]　设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．1．测量角度问题的关键是在弄清题意

7、的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．2．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少nmile?[解]　如图所示，设两船在C处相遇，并设∠C