高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

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1、高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________

2、___.27.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.CA.16B.20C.24D.323.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知9该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周8长为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的

3、底面边长为x，高为h，则有6x3,1x,93226xh,84h3．13∴正六棱柱的底面圆的半径r，球心到底面的距离d.∴外222243接球的半径Rrd.体积：VR.3222小结本题是运用公式Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.2故其外接球的表面积S4R9.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥

4、补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，222则有2Rabc.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则222体对角线长为labc，几何体的外接球直径为2R体对角线长l222abc即R2练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为2S4R16例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6A.(如图2)0例7在等腰梯形ABCD中

5、，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.43666A.27B.2C.8D.240解析：（如图3）因为AE=EB=DC=1，DAB=CBE=DEA=60，所以ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.PDCDCAEBE例8（2已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方

6、体模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球9的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于2.（如图4）DOABC图42、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，BCDC，若AB6,AC=213,AD=8，则球的体积是解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，0只要求出BOC即可，在RtABC中，求出BC=

7、4，所以BOC=60，故4B、C两点间的球面距离是3.（如图5）AOBCD图5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为S.DC解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心O1AB图3为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，

8、可得OO1