2015高考数学中的内切球及外接球问题(附习题)

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1、专业技术资料分享高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的

2、正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________..例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为______________..2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为..例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.CA.B.C.D.WORD资料下载可编辑专业技术资料分享3.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于

3、底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为，高为，则有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径.体积：.小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________..例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两

4、垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为WORD资料下载可编辑专业技术资料分享，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为例6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D

5、.A.(如图2)例7在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（）.A.B.C.D.解析：（如图3）因为，，所以图3，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.WORD资料下载可编辑专业技术资料分享例8（2已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直

6、径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）图42、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）WORD资料下载可编辑专业技术资料分享图5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.B.

7、C.D..选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.WORD资料下载可编辑专业技术资料分享又，∴球心必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.∴.∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球

8、的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五.确定球心位置法例5在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B.C.D.解设矩形对角线的交点为，