2019_2020学年高中数学课时分层作业4柱坐标系与球坐标系简介(含解析)新人教A版

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1、课时分层作业(四)(建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是(  )A.     B.C.D.[解析] 由P(ρ,θ,z),当θ=时,点P在平面yOz内.[答案] A2.设点M的直角坐标为(2,0,2),则点M的柱坐标为(  )A.(2,0,2)B.(2,π,2)C.(,0,2)D.(,π,2)[解析] 设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),∴ρ==2,tanθ==0,∴θ=0,z=2,∴点M的柱坐标为(2,0,2).[答案] A3.在空间球坐标系中

2、,方程r=2表示(  )A.圆B.半圆C.球面D.半球面[解析] 设动点M的球坐标为(r,φ,θ),由于r=2,0≤φ≤,0≤θ<2π.动点M的轨迹是球心在点O,半径为2的上半球面.[答案] D4.已知点M的直角坐标为(0,0,1),则点M的球坐标可以是(  )A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1,π,0)[解析] 设M的球坐标为(r,φ,θ),则r==1,θ=0,又cosφ==1,∴φ=0.故点M的球坐标为(1,0,0).[答案] A5.在直角坐标系中,点P的坐标为,则其球坐标为(  

3、)A.B.C.D.[解析] r===,cosφ===,∴φ=.tanθ==,又y>0,x>0,∴θ=.∴球坐标为.[答案] B二、填空题6.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为________.[解析] 设M的直角坐标为(x,y,z),则由(r,φ,θ)=,知x=4sincos=-2,y=4sinsin=2,z=4cos=2,∴点M的直角坐标为(-2,2,2).故点M到OZ轴的距离=2.[答案] 27.在柱坐标系中,点M的柱坐标为,则

4、OM

5、=________.[解析] 设点M的直角坐标为(x,y,z).由

6、(ρ,θ,z)=知x=ρcosθ=2cosπ=-1,y=2sinπ=,因此

7、OM

8、===3.[答案] 38.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.[解析] 由2ρsin=,得2ρ=,∴y-x=1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2,-2),∴d==.[答案] 三、解答题9.在柱坐标系中,求满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积.[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹如图所示,是

9、以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径r=1,h=2,∴V=Sh=πr2h=2π.10.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测,并通过数据汇总,计算出一个航天器在某一时刻的位置,离地面2384千米,地球半径为6371千米,此时经度为80°,纬度为75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器点P的坐标.[解] 在赤道平面上,选取地球球心为极点,以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°,可知θ=80°=.由航天器位于纬度75°,可知,φ=90°-75°=1

10、5°=,由航天器离地面2384千米,地球半径为6371千米,可知r=2384+6371=8755千米,所以点P的球坐标为.[能力提升练]1.空间点P的柱坐标为(ρ,θ,z),关于点O(0,0,0)的对称的点的坐标为(0<θ≤π)(  )A.(-ρ,-θ,-z)B.(ρ,θ,-z)C.(ρ,π+θ,-z)D.(р,π-θ,-z)[解析] 点P(ρ,θ,z)关于点O(0,0,0)的对称点为P′(ρ,π+θ,-z).[答案] C2.点P的柱坐标为,则点P到原点的距离为________.[解析] x=ρcosθ=4cos

11、=2,y=ρsinθ=4sin=2,即点P的直角坐标为(2,2,3),其到原点距离为=5.[答案] 53.以地球中心为坐标原点,地球赤道平面为xOy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向,本初子午线所在平面为zOx坐标面,如图所示,若某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可表示为________.[解析] 由球坐标的定义可知,该地的球坐标为.[答案] 4.已知在球坐标系Oxyz中,M,N,求

12、MN

13、.[解] 法一 由题意知,

14、OM

15、=

16、ON

17、=6,∠MON=,∴△MON为等边三角形,∴

18、

19、MN

20、=6.法二 设M点的直角坐标为(x,y,z),则故点M的直角坐标为,同理得点N的直角坐标为,∴

21、MN

22、===6.

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