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1、《余弦定理》教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时,2课时通过探究证明正弦定理,应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理,应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时,属于定理教学课。正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础,它们为解三角形提供了基本方法,为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具,完善了解三角形体系,为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对
2、任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果,将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。纵观余弦定理的发展史,它的雏形出现公元前3世纪。在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中,利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。1593年,法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式,直到20世纪,三角形式的余弦定理才一统天下。“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的,以几何定理的身份出现,直到1951年,美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解
3、析几何的方法证明了余弦定理,至于向量方法的出现,更是晚近的事了。”从新旧教材的内容设计对比来看,无论是问题的提出,定理的证明,简单应用都呈现出变化。旧教材数学第二册（下）中,余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。基于特殊到一般的数学思想,从直角三角形切入,提出问题后,直接用向量的方法推导定理。新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形,从量化的角度研究这个问题,也为余弦定理解三角形的类型做了
4、铺垫。在定理的推导过程中,同样用了向量方法,但在推导前提出思考：联系已经学过的知识,我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质,分别对三种形状的三角形进行了量化分析,旧教材没有涉及此内容。从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看,欧式几何依据基本的逻辑原理,建立几何关系,论证严谨,但思维量大,需要分类讨论。而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后,欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量,从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系,由此开创了研究几何问题的新方法。而且
5、在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗?教材的编排,就是希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理,另外对向量工具性作用有所体会和认识。基于以上分析,本节课的教学重点是：通过对三角形边角关系的探索,发现并证明余弦定理。一、教学目标设置结合《课程标准》和教材编排,本节课的教学目标确定为：1．发现并掌握余弦定理及其推论,利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。2、通过对三角形边角关系的探索,能证明余弦定理,了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。3
6、．通过经历一个完整的探究学习过程,使学生体会数学探究活动的基本规律,培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。一、学生学情分析为了让学生更好的学习本节课,现将学生知识结构和能力水平分析如下：本节课之前学生已学习过全等三角形,三角函数,平面几何,平面向量、解析几何、正弦定理等与本节课紧密联系的内容,使本课有了较多的处理思路,也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构上,学生会解直角三角形,知道锐角三角函数和勾股定理,这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生知道三角形回路可以转化为向量的加减法,向量的模与长度有关,向量的夹角
7、与角度有关,这为向量法证明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义,这为解析法证明余弦定理奠定了基础。正弦定理的证明推导过程也为本节课提供了一些探究的思路。能力水平上,高二的学生已有了一定的观察和类比能力,转化和分析问题的能力。可是,在证明过程中,如何使学生自然的将原有的知识与现有的推理相联系,从多个角度联想去发现和解决问题,自主探究获得定理的证明,从而提高发现问题、探索问题、解决问题的能力,实现学习方式的转变,这是这节课需要突破的。基于以上分析,本节课的教学难点是：通过对三角形边角关
8、系的探索,发现和证明余弦定理。二、教学策略分析1、课堂活动重探究。采用探究式课堂教学模式。整个过程包括提出探究问题确定探究方案完成探究过程。2．精心设计问题串。以问题驱动,学生主动参与知识建构,形成方法、提升能力。3．形成问题学习链。学生独立思考和小组合作探究相结合,学生汇报
