数学——命题

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1、第一章命题逻辑基本概念1一、命题的概念第一节命题与命题联结词具有真假意义的陈述句称作命题。通常用英文字母或带下标的英文字母表示。若一个命题不能再分，则称此命题为原子命题。例：A:2是素数。D:明天下午有会吗？B:2+3=5E:请你关上门。C:明年十月一是晴天。F:x+y>5,x,y是任意实数2[注]1)判断标准：陈述句，真值是否唯一。2)命题的真假是反映命题特征的一个重要标志。记3)T(p)的判断有客观和条件限制两种形式。3A:2是素数和偶数。B:林芳学过英语或日语。C:3不是偶数。D:如果角A与角B是对顶角，则角A等于角B。A:2是素数并且2是

2、偶数。B:林芳学过英语或者林芳学过日语。C:并非3是偶数。4二、逻辑联结词1、并且(合取)设命题p,q，命题“p并且q”称为p与q的合取，记为p∧q。真值表pqp∧q0000101001115[注]1)T(p∧q)=1当且仅当T(p)=T(q)=1T(p∧q)=0当且仅当T(p)、T(q)中至少有一个为0。2)不能一见“和”，“与”就用∧。62、或者(析取)设命题p,q，命题“p或者q”称为p与q的析取，记为p∨q。真值表pqp∨q0000111011117[注]1)T(p∨q)=0当且仅当T(p)=T(q)=0T(p∨q)=1当且仅当T(p)、

3、T(q)中至少有一个为1。2)∨表示相容性或，而不是排斥性或。83、否定(非)设命题p，命题“否定(非)p”称为p的否定，记为﹁p。真值表p﹁p0110[注]T(﹁p)=0(1)当且仅当T(p)=1(0).94、蕴含(蕴涵)设命题p,q，命题“若p则q”称为p蕴含q，记为p→q，称p为蕴含式的前件，q为蕴含式的后件。p→q为假当且仅当p为真q为假。真值表pqp→q00101110011110[注]1)p→q﹁p∨q2)在自然语言和数学中，“若p则q”的p与q往往有某种内在联系或推理关系，但在数理逻辑中，我们规定T(p→q)=0当且仅当T(p)=

4、1，T(q)=0。113）以下叙述方式都可以表示为p→q：只要p就q；因为p所以q；p仅当q；只有q才p；除非q才p；除非q否则非p。12例：将下列命题符号化，并判断其真值。A:若2+2=4，则太阳从东方升起。B:若2+2≠4，则太阳从东方升起。C:若2+2=4，则太阳从西方升起。D:若2+2≠4，则太阳从西方升起。135、等价设命题p,q，命题“p当且仅当q”称为p与q等价，记为pq。pq为真当且仅当p、q真值相等。真值表pqpq001010100111[注]pq(p→q)∧(q→p)14例：将下列命题符号化1、小王是游泳冠军或百米赛

5、跑冠军。2、小王现在在宿舍或者图书馆里。3、选小王或小李中的一人当班长。4、除非你努力，否则你将失败。5、王宜乐是计算机系的学生，他生于1986年或1987年，他是三好学生。15例：在什么情况下，下面这句话是真话：并非戏院是寒冷的或者是人们常去的地方，并且并非戏院是令人讨厌的或者别墅是温暖的。三、复合命题1、定义由原子命题经命题联结词构成的命题称为复合命题。162、复合命题去括号的规则(1)规定5个联结词的结合能力强弱顺序为：否定、合取、析取、蕴含、等价，凡符合此顺序者，括号均可除去。(2)规定具有相同结合能力的联结词，按其出现的先后次序，先出现

6、者先运算，凡符合此要求者，其括号可除去。(3)最外层括号可省去。17第二节命题公式及其赋值1、命题变元真值可以变化的陈述句称为命题变元，用p,q,r等表示。2、命题公式(1)单个命题变元和命题常项是公式；(2)如果A是公式，则﹁A是公式；(3)如果A、B是公式，则A∧B、A∨B、AB、AB都是公式；(4)有限次的应用(1),(2),(3)所得到的符号串是公式。183、指派设p1，p2，…，pn是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定p1，p2，…，pn的一组真值，称这组真值为G的一个指派(解释或赋值)，记作I，公式G在I下的真值记作TI（G）

7、。若指定的一组值使G为1，则称这组值为G的成真赋值；若使G为0，则称这组值为G的成假赋值。19例：G=(p∧q)r，则I：pqr110是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即TI（G）=1。[注]1)设G=G(p1,p2,…,pn),则G有2n种不同的指派。202）公式G赋值采用下述记法：a.若G中出现的命题变项为p1，p2，…，pn,则G的赋值是指b.若G中出现的命题变项(按字母顺序)为p,ｑ,ｒ,…，则G的赋值　是指　　　　　　　　最后字母赋值21[注]１)真值表中赋值按照二进制加法的顺序依次表示。2）可通过真值表准确的给出公式的成真

8、赋值和成假赋值，并判断公式的类型。G在所有指派下形成的真值构成公式G的真值表。４.真值表224、重言式定义：若对公式G的任一指派I,均有