2020版高考数学一轮复习课后限时集训16导数与函数的综合问题理新人教版

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1、课后限时集训(十六)　导数与函数的综合问题(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，7]　　B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7]B　[令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.]2．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则f

2、(x)(　　)A．在区间，(1，e)上均有零点B．在区间，(1，e)上均无零点C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点D　[因为f′(x)＝－，所以当x∈(0,3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，而0＜＜1＜e＜3，又f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，所以f(x)在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点．]3．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是(　　)A.B．[－1，

3、＋∞)C．[－e，＋∞)D.D　[f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x＞－1时，f′(x)＞0，函数单调递增；当x＜－1时，f′(x)＜0，函数单调递减．所以当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(－1)＝－.函数g(x)的最大值为a.若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－.故选D.]4．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)B　[由题意

4、知a≤2lnx＋x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，令g(x)＝2lnx＋x＋，则g′(x)＝＋1－＝，由g′(x)＝0得x＝1或x＝－3(舍)，且x∈(0，1)时，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0.因此g(x)min＝g(1)＝4.所以a≤4，故选B.]5．(2018·衡阳一模)已知函数f(x)＝alnx＋x2，a∈R，若f(x)在[1，e2]上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)A.B.∪{－2e2}C.∪{－2e}D.C　[当x＝1时，f(x)＝1≠0，从而分离参数可将问题转化为直线y＝a与函数g(x

5、)＝－的图象在(1，e2]上有且只有一个交点，令g′(x)＝＝0，得x＝，易得g(x)在(1，)上单调递增，在(，e2]上单调递减，由于g()＝－2e，g(e2)＝－，当x→1时，g(x)→－∞，所以直线y＝－2e，或位于y＝－下方的直线满足题意，即a＝－2e或a＜－，故选C.]二、填空题6．(2019·郑州调研)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．[4，＋∞)　[当x∈(0,1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，则g

6、′(x)＝＝－.易知当x＝时，g(x)max＝4，∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]7．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是________．(－∞，－2)　[当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不合题意，故a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.若a＞0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a＜0.由三次函数图象及f(0)＝1＞0知，f＞0，即a×3－3×2＋1＞0，化简得a2－4＞0，又

7、a＜0，所以a＜－2.]8．已知x∈(0,2)，若关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值范围为________．[0，e－1)　[由题意，知k＋2x－x2＞0.即k＞x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0，因此由原不等式，得k＜＋x2－2x恒成立．令f(x)＝＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1).令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k＜f(x)min＝f(1)＝e－1，故实数k的

8、取值范围为[0，e－1)．]三、解答题9．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1.(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xlnx＋成立．[解]　f(x)＝lnx－x＋a＋1(x