2019版一轮优化探究文数练习：第三章 第一节　导数的概念及其运算 含解析

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1、一，填空题1．已知曲线y＝上一点A(1,1)，则该曲线在点A处的切线方程为________．解析：y′＝()′＝－，故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为－1，故所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝02．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.解析：由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.答案：－23．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：设P(x0，y0

2、)，∵f′(x)＝4x3－1，∴f′(x0)＝4x－1，由题意知4x－1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.即P(1,0)．答案：(1,0)4．点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为________．解析：y＝x2－2ln＝x2－lnx，y′＝2x－，令y′＝1，即2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离即为所求．答案：5．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为________．解析：因为f′(x)＝－f′()sinx

3、＋cosx，所以f′()＝－f′()·sin＋cos⇒f′()＝－1，故f()＝f′()cos＋sin⇒f()＝1.答案：16．设直线y＝－3x＋b是曲线y＝x3－3x2的一条切线，则实数b的值是________．解析：求导可得y′＝3x2－6x，由于直线y＝－3x＋b是曲线y＝x3－3x2的一条切线，所以3x2－6x＝－3，解得x＝1，所以切点为(1，－2)，同时该切点也在直线y＝－3x＋b上，所以代入直线方程可得b＝1.答案：17．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′

4、(0)＝________.解析：f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.答案：2128．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(

5、1)的取值范围是________．解析：f′(1)＝(sinθx2＋cosθ·x)

6、x＝1＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，∴f′(1)∈[，2]．答案：[，2]9．如图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f′(0)＝0，且－a>0，∴a＝－1.故

7、f(－1)＝－－1＋1＝－.答案：－二，解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－sincos.解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)·(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，(3)∵y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.11．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求y＝f(x)的解

8、析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)f′(x)＝a－，于是，解得或.由a，b∈Z，故f(x)＝x＋.(2)在曲线上任取一点(x0，x0＋)．由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝[1－](x－x0)．令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为(1，)．令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为

9、－1

10、·

11、2x0－1－1

12、＝

13、

14、

15、2x0－2

16、＝2.所

17、以所围三角形的面积为定值2.12．设函数f(x)＝x2－alnx与g(x)＝x－的图象分别交直线x＝1于点A，B，且曲线y＝f(x)在点A处的切线与曲线y＝g(x)在点B处的切线斜率相等．(1