北师大版九上数学第二章 一元二次方程专训1 一元二次方程与三角形的综合(含答案)

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1、专训1　一元二次方程与三角形的综合名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　　)A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，

2、第三边长为acm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4

3、__________________________________________________________，第二步应用的数学思想是______________，确定a值的大小是根据______________．一元二次方程与直角三角形的综合3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________．4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并

4、说明理由．一元二次方程与等腰三角形的综合5．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0、(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5、当△ABC是等腰三角形时，求k的值．一元二次方程与动态几何的综合6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm、点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2

5、?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm?(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7cm2？并说明理由．(第6题)参考答案1．C2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论思想；方程根的定义3．134．解：△ABC是直角三角形．理由如下：原方程可化为(b＋c)x2－2ax＋cm－bm＝0，Δ＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)．∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2、∴△ABC是直角三角形．5．(1)证明：∵

6、a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k，∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0、　∴此方程有两个不相等的实数根．(2)解：∵△ABC的两边AB，AC的长是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两个实数根，∴由(1)知，AB≠AC，∵△ABC的第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，∴AB＝5或AC＝5，即x＝5是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的一个解．将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得25－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5、当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0，

7、解得x1＝5，x2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；当k＝5时，原方程为x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．综上，k的值为4或5、6．解：设A，P运动的时间为xs，则由题意知AP＝xcm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2xcm，CQ＝(7－2x)cm、(1)S△PBQ＝·PB·BQ＝×(5－x)×2x＝4、解得x1＝1，x2＝4、当x＝1时，5－1＞0，7－2×1＞0，满足题意；当x＝4时，5－4＞0，7－2×4＜0，不满足题意，舍去．故1s后，△PBQ的面积为4cm2、(2

8、)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2，若PQ＝5cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25、解得x1＝0(舍去)，x2＝2、故2s后，PQ的长度为5cm、(3)不能．理由如下：仿照(1)，得(5－x)·2x＝7，整理，得x2－5x＋7＝0，∵Δ