4 相似经典大题

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1、相似经典大题1．在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．⑴当AB＝AC时，（如图13），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；⑵当AB＝kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）．图13图142.（2012莆田）已知菱形的边长为1，，等边两边分别交边、于点、.（1）特殊发现：如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心；（2）若点、始终在分别在边、上移动，记等边的外心为点.①猜想验证：如图2，猜想的外心落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当面积最

2、小时，过点任作一直线分别交边于点，交边的延长线于点，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由3.已知△ABC中，∠ACB=90°（如图），点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB．（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；（2）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积；（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．4.如图，矩形中，点从点出发在线段上作匀速运动（不与、重合），同时点从点出发在线段上作匀速运动.（

3、1）如图1，若为中点，且.请在图中找出两对相似三角形:①_∽_,②_∽_，选择其中一对加以证明；（2）①如图2，若,,点的速度为1个单位长度/秒,点的速度为个单位长度/秒，运动的时间为秒.当为何值时，与相似？请说明理由；②如果把点的速度改为个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在的值，使得与和这两个三角形都相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。图3图2图1654321NMNMDCBADCBADCBA5.如图1，在菱形中，=4，∠，是边上的点，∠（<<），点在边上，∠，、分别与相交于、两点，当∠绕着点旋转时，点、、、也随之运动.请解答下列问题；（1）求证：是等边三角形；（2）在∠旋转

4、的过程中，当为何值时，四边形的周长最小？求四边形周长的最小值；图1图2aQPNMDCBAQPNMDCBAa（3）如图2，当时，判断与之间的数量关系，并说明理由.例题：（1）问题背景如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）结论：线段BD与CE的数量关系是（请直接写出结论）；（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写

5、出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD=CE（用含n的代数式表示)