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《（新课标）高考数学第七章立体几何7_6空间向量及其应用课时规范练理（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7-6空间向量及其应用课时规范练(授课提示：对应学生用书第297页)A组 基础对点练1．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABB1A1为矩形，AB＝BC＝1，AA1＝，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，BC⊥AB1.(1)证明：CD⊥AB1；(2)若OC＝，求二面角A－BC－B1的余弦值．解析：(1)证明：由△AB1B与△DBA相似，知DB⊥AB1，又BC⊥AB1，BD∩BC＝B，∴AB1⊥平面BDC，CD⊂平面BDC，∴CD⊥AB1.(2)由于OC＝，BC＝1，在△ABD中，可得OB
2、＝，∴△BOC是直角三角形，BO⊥CO.由(1)知CO⊥AB1，则CO⊥平面ABB1A1.以O为坐标原点，OA，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A，B，C，B1，＝，＝，＝.设平面ABC，平面BCB1的法向量分別为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则不妨取n1＝(，－1，)，n2＝(1，，－2)，∴cos〈n1，n2〉＝＝－，又二面角A－BC－B1为钝二面角，∴二面角A－BC－B1的余弦值为－.2．(2018·高考江苏卷)如图，在正三棱柱A
3、BC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解析：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O－xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因为P为A1B1的中点，
4、所以P，从而＝，＝(0,2,2)，故
5、cos〈，〉
6、＝＝＝.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)，设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sinθ＝
7、cos〈，n〉
8、＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB
9、1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．解析：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O为坐标原点，的方向为
10、x轴正方向，
11、
12、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，OC＝OA，则A，B(1,0,0)，B1，C.易知＝，＝＝，＝＝.设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n＝(1，，)．设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m＝(1，－，)．则cos〈n，m〉＝＝.所以二面角A－A1B1－C1的余弦值为.4．(2017·高考天津卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别
13、为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角C－EM－N的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)．(1)证明：＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)
14、．设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)．又＝(1,2，－1)，可得·n＝0.因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.(2)易知n1＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量．设n2＝(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，则因为＝(0，－2,－1)，＝(1,2，－1)，所以不妨设y1＝1，可得n2＝(－4,1，－2)．因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，于是sin〈n1，n2〉＝.所以二面角C－EM－N的正弦值为.(3)
