高考数学第八章立体几何2第2讲空间几何体的表面积与体积练习理（含解析）

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1、第2讲空间几何体的表面积与体积[基础题组练]1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是(　　)A．4πS　　　B．2πSC．πS　　　D.πS解析：选A.由πr2＝S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为2π·＝2，所以圆柱的侧面积是4πS，故选A.2．(2019·武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)A.B.C.D．3解析：选D.如图，三棱锥PABC为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S△ABC＝×2×3＝3，点P到平面

2、ABC的距离h＝3，则VPABC＝S△ABC·h＝×3×3＝3，故选D.3．(2019·昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(　　)A．63πB．72πC．79πD．99π解析：选A.由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为×π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π

3、.故选A.4．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为(　　)A．1－B．3＋C．2＋D．4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S＝2×(1×1－×π×12)＋2×(1×1)＋×2π×1×1＝4.故选D.5．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)A.πB.πC．16πD．32π解析：选B.设该圆锥的外

4、接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B.6．(2019·沈阳质量监测)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×＝4＋4.答案：4＋47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体

5、由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝×32×π×14＝63π.答案：63π8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是________．解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V＝××2×x＝3，解得x＝3.答案：39．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶

6、点，求在几何体表面上，从P到Q点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝＝＝a，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面

7、AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACD

8、＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.[综合题组练]1．(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　)A.B.πC.D.解析：选C.正方体的