高考数学第八章立体几何6第6讲空间向量及其运算练习理（含解析）

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1、第6讲空间向量及其运算[基础题组练]1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)A.(b＋c－a)B.(a＋b＋c)C.(a－b＋c)D.(c－a－b)解析：选D.＝＋＋＝(c－a－b)．2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)A．9　　　　　　　　　　B．－9C．－3D．3解析：选B.由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9.3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)A．－1B．0

2、C．1D．不确定解析：选B.如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.4.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)A.B.C．1D.解析：选D.因为＝＋＋，所以

3、

4、2＝

5、

6、2＋

7、

8、2＋

9、

10、2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，所以

11、

12、＝.5．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．±B.C．－D．±解析：选C.＋λ＝(1，－λ，λ)，c

13、os120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．解析：因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.答案：＋＋7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________．解析：连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，所以PD＝＝，所以MN＝.答案：8.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝

14、，则cos〈，〉的值为________．解析：设＝a，＝b，＝c，由已知条件得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

15、b

16、＝

17、c

18、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

19、a

20、

21、c

22、－

23、a

24、

25、b

26、＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.答案：09．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1)试用向量，，表示；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解：(1)设＝a，＝b，＝c.由图得＝＋＋＝c＋b＋＝a＋b＋c＝＋＋.(2)证明：由题图，得＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a＝，因为EG与AC无公共点，所以EG∥AC，

27、因为EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以EG∥平面AB1C.又因为＝＋＝a＋c，＝＋＝c＋a＝，因为FG与AB1无公共点，所以FG∥AB1，因为FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，所以FG∥平面AB1C，又因为FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB1C.10．已知正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试采用向量法解决下列问题．(1)求的模长；(2)求，的夹角．解：(1)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是四面体ABCD中各棱的中点，＝a，＝b

28、，＝c，所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＝c；所以＝＋＋＝－(b－a)－a＋c＝(c－a－b)，所以

29、

30、＝＝＝＝.(2)正四面体ABCD中，＝(c－a－b)，

31、

32、＝；同理，＝(b＋c－a)，

33、

34、＝；所以cos〈，〉＝＝＝[(c－a)2－b2]＝[c2＋a2－2c·a－b2]＝[1＋1－2×1×1×cos60°－1]＝0，所以与的夹角为90°.[综合题组练]1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：

35、选B.当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n(m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3，2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．2．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，