1、课时作业54 双曲线1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( A )A.B．3C.mD．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝，不妨取F(，0)，一条渐近线为y＝x，化成一般式即为x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F1、F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则
2、MO
3、－
4、MT
5、等于(
6、 D )A．4B．3C．2D．1解析：连接PF2，OT，则有
7、MO
8、＝
9、PF2
10、＝(
11、PF1
12、－2a)＝(
13、PF1
14、－6)＝
15、PF1
16、－3，
17、MT
18、＝·
19、PF1
20、－
21、F1T
22、＝
23、PF1
24、－＝
25、PF1
26、－4，于是有
27、MO
28、－
29、MT
30、＝－＝1，故选D.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( B )A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k＞0)，即－＝1，∵双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴
31、4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1，故选B.方法二：∵椭圆＋＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴a2＋b2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴＝②.联立①②可解得a2＝4，b2＝5.∴双曲线C的方程为－＝1.4．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A．32B．16C．84D．4解析：由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐
32、近线y＝x上，由题意可知
33、F2M
34、＝＝b，所以
35、OM
36、＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为( B )A．3B．2C．－3D．－2解析：由题意及正弦定理得＝＝e＝2，∴
37、PF1
38、＝2
39、PF2
40、，由双曲线的定义知
41、PF1
42、－
43、PF2
44、＝2，∴
45、PF1
46、＝4，
47、PF2
48、＝2.又
49、F1F2
50、＝4，由余弦定理可知cos∠P
51、F2F1＝＝＝，∴·＝
52、
53、·
54、
55、cos∠PF2F1＝2×4×＝2.故选B.6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是( A )A.B．C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得＜a
