2020版高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第4节归纳与类比教学案理北师大版

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1、第四节　归纳与类比[考纲传真]　了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类

2、比推理得到的结论一定正确．(　　)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(　　)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(　　)[答案](1)×　(2)√　(3)×2．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－1　　　　　B．an＝4n－3C．an＝n2D．an＝3n－1C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]3．下面几种推理是合情推理的是(　　)①由圆的性质类比出球的有关性质

3、；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④C　[合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.]4．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b

4、9＝1，则b1b2b3…bn＝________.b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)　[∵b9＝1，∴在等比数列中b1·b2·b3·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)．]归纳推理►考法1　与数式有关的推理【例1】　(1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝(　　)A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．11(2)(2019·济宁模拟)已知ai＞0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式：≥；≥；≥；……照此规

5、律，当n∈N*，n≥2时，≥______.(1)C　(2)　[(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令2＝3025，则＝55，n＝10或n＝－11(舍)．故选C.(2)由题意得≥(n∈N*，n≥2)．]►考法2　与图形有关的推理【例2】　某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．(1)n级分形图中共有________条线段；(2)n级分

6、形图中所有线段长度之和为________．(1)3×2n－3(n∈N*)　(2)9－9×n(n∈N*)　[(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n级分形图中的线段条数为an＝3×2n－3(n∈N*)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为bn＝3×n－1(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×0＋3×1＋…＋3×n－1＝3×＝9－9×n.][规律方法]　归纳推理问题的常

7、见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，则按照以上规律，若9＝具有“穿墙术”，则n＝(　　)A．25B．48C．63D．80(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的

8、规律，并依