高考数学一轮复习课时作业16导数与不等式问题理（含解析）新人教版

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1、课时作业16　导数与不等式问题一、选择题1．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　C　)A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析：当x∈(0,1]时，a≥－33－42＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，在t∈[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立，故实数a的取值范围为[－6

2、，－2]．2．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　B　)A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.二、填空题3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的

3、取值范围是(－∞，－20]．解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.4．(2019·福建三校联考)已知函数f(x)＝ax2－xlnx在上单调递增，则实数a的取值范围是a≥.解析：f′(x)＝2ax－lnx－1≥0，解得2a≥在上恒成立，构造函数g(x)＝，g′(x)＝＝＝0，解得x＝1，∴g(x)在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)＝1，

4、∴2a≥1，a≥，故填a≥.5．(2019·四川成都七中一诊)设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是k≥.解析：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，等价于≤恒成立，f(x)＝＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，即f(x)的最小值是2，由g(x)＝，则g′(x)＝＝，由g′(x)>0得01，此时函数g(x)为减函数，即当x＝1时，g(x)取得极大值同时也是最大值g(1)＝，则的最大值为＝，则由≥，得2ek≥k＋

5、1，即k(2e－1)≥1，则k≥.三、解答题6．(2019·沈阳监测)已知函数f(x)＝alnx(a>0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x>0时，求证f(x)≥a；(3)若在区间(1，e)上e－ex<0恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝，∴f′(2)＝＝2，∴a＝4.(2)证明：令g(x)＝a(x>0)，则g′(x)＝a.令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0

6、最小值为g(1)＝0，∴f(x)≥a.(3)由题意可知e.令h(x)＝，则h′(x)＝，由(2)知，当x∈(1，e)时，lnx－1＋>0，∴h′(x)>0，即h(x)在(1，e)上单调递增，∴h(x)0，a≠1)．(1)求函数f(x)的极小值；(2)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得

7、f(x1)－f(x2)

8、≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取

9、值范围．解：(1)f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna.∵当a>1时，lna>0，(ax－1)lna在R上是增函数，当01或00的解集为(0，＋∞)，f′(x)<0的解集为(－∞，0)，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，∴函数f(x)在x＝0处取得极小值1.(2)∵存在x1，x2∈[－1,1]，使得

10、f(x1)－f(x2)

11、≥e－1，而当x∈[－1,

12、1]时，

13、f(x1)－f(x2)

14、≤f(x)max－f(x)min，∴只需f(x)max－f(x)min≥e－1即可．当x