高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式第2课时学案新人教A版必修

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1、3.1　不等关系与不等式(第2课时)学习目标1.掌握常用不等式的基本性质.2.会将一些基本性质结合起来应用.3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.二、信息交流,揭示规律问题3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢?问题4:请大家用作差法证明性质(4).问题5:利用

2、上面的性质,证明不等式的下列性质:性质5　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;性质6　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;性质7　如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥1);性质8　如果a>b>0,那么(n∈N,n≥2).三、运用规律,解决问题【例题】已知a>b>0,c<0,求证.问题6:观察条件和结论中的不等式有什么差异?用不等式的哪些性质可以将条件向结论转化?问题7:请大家思考还有其他证明方法吗?请大家尝试一下.问题8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤?四、变式训练,深化提高

3、变式训练1:下列结论的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.①若bb,则.(　　)③若,则a>b.(　　)④若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)⑤若a2>b2>0,则a>b>0.(　　)⑥若,则a>b.(　　)变式训练2:设x

4、a=b,b=c⇔a=c;③加法法则:a=b⇔a±c=b±c;④乘法法则:a=b,c≠0⇒ac=bc.问题2:(1)如果a>b,那么bb.即a>b⇔bb,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c.(3)如果a>b,那么a+c>b+c.(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab,c>0,所以ac-b

5、c=c(a-b)>0,所以ac>bc.同理可证如果a>b,c<0,那么acb,所以a+c>b+c.　①因为c>d,所以b+c>b+d.　②由①②得,a+c>b+d.(6)⇒ac>bd;(7)因为a>b>0,由性质(6)可得an>bn,(n∈N,n≥1);(8)(反证法)假设,若这都与a>b矛盾,所以.三、运用规律,解决问题【例题】证明:因为a>b>0,所以ab>0,>0.于是a×>b×,即.由c<0,得.问题6:结论中的a,b在分母上,且结论中a,b,c在同一个不等式中;性

6、质(4).问题7:有,用作差法.证明:因为,又因为a>b>0,所以b-a<0,ab>0.又c<0,所以>0,所以.问题8:作差—变形—定号—结论,四个步骤.四、变式训练,深化提高变式训练1:答案:√、×、×、×、×、√变式训练2:解:方法一:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)=-2xy(x-y),∵x0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).方法二:∵xy2,x+y<0.∴(x2+

7、y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,∴0<<1,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).变式训练3:解析:由题设得0<2α<π,0≤,-≤-≤0,所以-<2α-<π.答案:D五、反思小结,观点提炼略