1.3.2杨辉三角

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1、“杨辉三角”与二项式系数的性质一、课前探究任务展开式的二项式系数123456你能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗？能否利用计数原理证明你的结论？二、探究新知小组结论组合角度函数角度对于的二项式系数，，…，，可以将视为以为自变量的函数，其定义域是_________________.对于确定的，我们还可以画出它的图象.（以为例.）第4页，共4页三、例题演习例（江苏理10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第个数为．练（湖北理15）将杨辉三角

2、中的每一个数都换成分数，就得到一个如右所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中＝_________.令＝…＋，则＝___________.练（三维小本p65）某区有条南北向街道，条东西向街道.则从点走向点最短的走法有多少种？第4页，共4页四、本课小结五、昨日重现在我国，早在北宋时期的数学家贾宪发现并使用了这个三角形，南宋数学家杨辉的著作《详解九章算术》（1261）种收录了贾宪的部分工作，将这个三角形称为“开方作法本源”图。17世纪法国数学家帕斯卡也创造了这个三角形，比中国要晚600年左

3、右。由于帕斯卡对这个三角形的性质进行了全面的论述，因此在西方也称之为“帕斯卡三角形”。贾宪构造的方法是：“以隅算一自下增入前位，至首位而止；复以隅算如前升增，递低一位求之”，即求“上廉”就是将隅算１自下而上加到上面，直到首位停止；求其他数字，跟刚才一样自下而上加到上面，但是每次低一位停止，其计算程序如下：1、6、15、20、15、6、1是贾宪三角的第七行数字，贾宪所用的方法和我们是完全不一样的，可以看出有多种退出三角形的方法。另外，贾宪三角形在当时并不是用来展开二项式的，而是用来做开方运算的。这种方法被称之为“

4、増乘开方法”，同类算法在西方被称为“霍纳法”，其完成比中国要晚近800年。通过这样的方法可以开任意高次方，是一种高机械化的方法，具有强烈的算法倾向，这是中国古代数学的一大特点。以下用具体例子来说明贾宪的开方法：第4页，共4页第4页，共4页