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1、矩阵分析实验报告学院：电气学院专业：控制工程姓名：XXXXXXXX学号：211208010001矩阵分析实验报告实验题目利用幕法求矩阵的谱半径实验目的与要求1、熟悉matlab矩阵实验室的功能和作用；2、利用幕法求矩阵的谱半径；3、会用matlab对矩阵分析运算。实验原理理念谱半径定义：设AeC,,xn,入,人，心，…，/•,…&是A的n个特征值，称p（A）=maxIA}I为关于A的谱半径。关于矩阵的谱半径有如下结论：设A6Cnx,i,贝ij（1）（2）q（A〃A）=q（A4〃）=（4）。由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。算法介绍定义：如果入是矩
2、阵A的特征值，并且其绝对值比A的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量V,称为主特征向量。定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1）,则称其为是归一化的。通过形成新的向量V=(1/d[vjv2--v]其中c=v且n.=maX
3、?s”｛
4、vj｝,可将特征向量〔V]V2…V」进行归一化。设矩阵A有一主特征值2,而且对应于2有唯一的归一化特征向量V。通过下面这个称为幕法(powermelhod)的迭代过程求出特征对2,V,从下列向量开始:(1)(2)(3)X(冃11…1]用下面递归公式递归地牛.成序列｛Xk｝:Xk+严一h%
5、】其中c如是h绝对值最大的分量。序列｛X』和仇｝将分别收敛到V和/1:limXk-Vj和limck-2注：如果X。是一个特征向量且XoHU,则必须选择其他的初始向量。幕法定理：设nXn矩阵A有n个不同的特征值入],入2，•••，,入n，而且它们按绝对值大小排列,即：
6、A
7、>
8、^
9、>K
10、>->
11、An
12、(4)如果选择适当的Xo,则通过下列递推公式可生成序列｛Xr=[x唧)…才)]'｝和匕}:n=ax应⑸和：X如=丄人⑹Ck+其中：%严寸)且xf=max{}(7)这两个序列分别收敛到特征向量V
13、和特征值入1。HP：limXk=V]和limck=入⑻>ookfg算法收敛性证明证
14、明：由于A有n个特征值，所以有对应的特征向量Vj,j=l,2,・・・n。而且它们是线性无关II归一化的，可形成一个n维空间的基。因此初始向量X。可表示为它们的一个线性组合：X（）"M+E%+…+切匕设X（）=[“2…订且勺工0,而[1X。的分量满足m時如｛忖
15、｝=1。枷｛V.｝爲是A的特征向量，归一化乘积AX。可得到：（10）=blAVl+b2AV2+-^bnAVnZ2=人（承+b2（~r）V2+•••+仇（屮匕）和:X严如©%+经过k个迭代后，可得到：+*（訓）C©…C-]（輕+诒r+*（”%）（11）—（方刖+优（令严化+…+化吟严AV,）C]C2•♦・C*_]州州_
16、2L丄辭v；+如令产网+・・・+化（令）5必）品牙（S唆佗+•••+呛佗）和:3抚邮+噪小+...+叹）“）由于设
17、可/
18、入Iv1J=2,3,…,仏可得到:1血巧（扌）比=0,丿=2,3,・・」k*'入'因此可进一步得到:limXkJlToolim勺&匕kfgccCc1c2...cjt(13)由于要求和岭是归一化的，而且最大分量为1.因此式（13）左边的向量极限将归一化,使得其最大分量为1・这样式（13）右边％的标量乘数存在极限，且为1,B
19、J：(14)(15)lim'入％=1火一＞00c「CIV*••eVzI因此向量序列｛X/收敛到主特征值:limq=几在式（14）中按
20、顺序用k-1替换k,可得:lim—V,=1R—»QOccC吋2・・5-1在式（14）两边除以上面的结果可得到:凹4%;牴/[)21因此常数序列｛C讣收敛到主特征值:(16)证毕。实例分析求下面矩阵的主特征值与特征向量_12-1A=36-1-2-43Matlab程序A=[l2-1;36・1;-2-42J;X=[l1IT;epsilon=0.000001;max1=100;lambda=O;cnt=O;err=l;state=l;while((cnt<=max1)&(state=1))Y=A*X;[mj]=max(abs(Y));cl=m;dc=abs(lambda-cl);
21、Y=(l/cl)*Y;dv=norm(X-Y);err=max(dc,dv);X=Y;lambda=cl;state=O;if(en>epsilon)state=l;endcnt=cnt+l;endv=xW=lambdaplot(err)实验结果V=0.40001.0000-0.8000W=8.0000-1-1的谱半径。3_12W二&()00()即为矩阵A=36-2-4结果分析与体会通过本次实验。。。。。
