浅谈分类讨论意识培养

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1、浅谈分类讨论意识培养透析近几年高考题目，对于分类讨论的考杏几乎每年涉及，分类讨论思想也是高屮数学的一种主要思想方法。培养分类意识也是我们高中牛学习数学的一项基本目标。本文就从06年高考题方面，浅谈一下学习中如何培养分类讨论意识。一、分类讨论应明确的几个问题问题1为什么要进行讨论即要找到讨论的原因，在高屮阶段能引起讨论的原因很多如：分式分母是否为零、去绝对值号、二次方程根的分步对称轴与区间的讨论、集合是否为空集的讨论、指对函数底数的讨论、公比q斜率k的讨论、三角函数值角所在象限的讨论、含参高次不等式解的讨论……问题2讨论内容是什么

2、即找到讨论的目标，明确讨论谁的问题。是变量还是参数，是对称轴还是区间等等。问题3怎样进行讨论即首先确定讨论目标的范围，然后确定讨论的标准。问题4讨论的原则讨论的原则为在字母的范围内耍做到不重不漏。二、分类讨论应明确的几种题型1、由参数引起的的讨论近儿年对含参不等式与导数交汇的题目是一个热点。也是今后命题的趋向。例1(06全国I)己知函数f(x)=^-e-ax(I)设q〉0，讨论y=/(x)的单调性；(II)若对任意xe(O,l)恒有/(%)>1,求a的取值范围。分析：此题是与导数有关的一类问题，思路为求f(x)导函数判断/'(兀

3、)的符号再判断函数f(x)的单调性解析：(I)由题意可知f(x)的定义域为(一8,1)U(1,+8).O乂?+2O对f(x)求导数得f'(X)二(仁产严(注意求导时要化为蝕简形式，引起讨论的原因为71-^e-.的符号与单调性的关系，而：］竽axe~flX.的符号是由ax2+2-a决定的。)(i)当沪2时,f'(x)-(1_x)2e~2x,f'(x)>0的解为(一8,0)或(0,1)或(1,+~)且只在x=0时f‘(x)=0,所以f(x)在(一8,1),(1,+°°).为增函数.(代)当00〈2时,f‘(x)>0,f(x)在(一6

4、1),(l,+oo)为增函数.a一9(iii)当o>2时,0〈亍〈1,令f'(x)=0，解得沪-a-2a-2aa综上所述当02时f(x)在(一°%—(11)(i)当0〈aW2(ii)当a>2时,取xo=

5、时,III(I)知:对任意xe(0,l)f(x)为增函数,所以恒有a—9(0,1),则由(I)知f(Xo)1且eP

6、l,得f(x)=e亠口〉i.综上可得当且仅当ae(-c«,2］时,对任意xe(0,1)恒有f(x)>l。评注：(1)利用导数求单调区间的步骤:先确定函数的定义域，求f(x)导函数判断/'(兀)的符号，再判断函数f(x)的单调区间。(2)判断ax2+2-a符号是要注意a>0这一范围和ax2+2-a=0的悄况。木题讨论的是参数a、讨论的原因是式子的符号引起单调性的变化。2、由自变量引起的讨论2严)x<2例2设f(x)=；'则不等式Ax)>2的解集为[log3(x2-l),x>2,(A)(1,2)u(3,+qo)(b)(VTO,+8)

7、(0(1,2)U(710,+8)(D)(1,2)分析：本题没有参数，讨论的是H变量，注意与上一题的区别。解析：当x<2时2严>2解得l2解得xw(VlO,彳8)综上所述可得不等式八才)>2的解集为(1,2)U(JT5,+厂评析：问题时一定要分清讨论的目标是H变量还是参数，当讨论H变量时结果取并集,当讨论参数吋注意分情况写出。3、由概念引起的讨论例3平面直角坐标系兀0y中，直线Z与抛物线y2=2x相交于A、B两点.>>求证：“如果直线/过点T(3,0),那么OA・OB=3”是真命题;分析：此题

8、设直线方程时须考虑直线斜率是否存在解析：设过点T(3,0)的直线/交抛物线y~2x于点A(xi,y】)、B(x2,y2).1、当直线2的斜率不存在时，直线Z的方程为x二3,此时，直线Z与抛物线相交于A(3,V6)B(3,-V6).OA•OB=3；2、当直线2的斜率存在时，设过点T(3,0)的直线2的方程为y=k(x-3),V2=2*ky2-2y-6k=0=>y}y0=-6y=k(x-3)又I兀1詁昭巾詁川・•・OAOB=xix2^yly2二乂戸山尸+丿』2=3，综上所述,命题“如果直线Z过点T(3,0),那么OAOB=3”是真命

9、题;评析：此题是概念引起的讨论相关的题FI很多如集合是否为空集的讨论.指对函数底数的讨论、公比q斜率k的讨论总Z,分类讨论思想是高中数学的主要思想方法，其的对彖是确定的，标准是统一的，原则应是不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论，是进行好分类讨论培养