2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教学案

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1、第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式角α的弧度数公式

3、α

4、

5、＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝°弧长公式弧长l＝

6、α

7、r扇形面积公式S＝lr＝

8、α

9、r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosα叫做α的正切，记作tanα三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．5．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(

10、x≠0)．　若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图：[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C　[－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，故－870°的终边在第三象限．]3．若角θ同时满足sinθ

11、＜0且tanθ＜0，则角θ的终边一定位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D　[由sinθ＜0知角θ的终边在三、四象限或y轴负半轴上，由tanθ＜0知角θ的终边在二、四象限，故角θ的终边在第四象限，故选D.]4．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M，则sinα＝()A.B．±C.　D．±B　[由题意知

12、r

13、2＝2＋y2＝1，所以y＝±.由三角函数定义知sinα＝y＝±.]5．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.π　D.πD　[单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝π，由弧长公式得l＝π.]象限角与终边相同的角1．若a＝k·18

14、0°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限A　[当k＝2n(n∈N)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A.]2．若角α是第二象限角，则是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角C　[∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．综上，是第一

15、或第三象限角，故选C.]3．与－2015°终边相同的最小正角是________．145°　[－2015°＝6×(－360°)＋145°，因此与－2015°终边相同的最小正角是145°.]4．终边在直线y＝x上的角的集合是________．{β

16、β＝60°＋k·180°，k∈Z}　[如图，直线y＝x过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β

17、β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β

18、β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β

19、β＝60°＋

20、k·360°，k∈Z}∪{β

21、β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β

22、β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β

23、β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β

24、β＝60°＋k·180°，k∈Z}．][规律方法]　1.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k