2020版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第5节简单几何体的表面积与体积教学案文含解析北师大版

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1、第五节　简单几何体的表面积与体积[考纲传真]　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图　侧面积公式　S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体　　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋

2、S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR31．正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3.2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a，外接球半径R外＝a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的

3、打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)(2)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1cm　　　B．2cm　　　C．3cm　　　D.cmB　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]3．圆柱的底面直

4、径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为(　　)A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3B　[设球的半径为R.则＝＝.]4．(教材改编)某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为(　　)A．6B．3C．2D．3B　[由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为左视图，该左视图是底边为2，高为的三角形，主视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.]5．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．1∶47　[设长方体的相邻三条棱长分

5、别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.]空间几何体的表面积【例1】　(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)A．48＋π　　B．48－π　　C．48＋2π　　D．48－2π(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12πB．12πC．8πD．10π(1)A　(2)B　[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球

6、，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.][规律方法]　空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积

7、，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．(1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)A．1＋B．1＋2C．2＋D．2(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)A．18＋36B．54＋18C．90D．81(1)C　(2)B　[(1)由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中AB

8、＝AD＝CB＝CD＝，BD＝2，且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD与△CBD都是等腰直角三角形，而△ABC与△CAD都是边长是的等边