（黄冈名师）高考数学大题规范满分练一理（含解析）新人教A版

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1、大题规范满分练(一)函数与导数综合问题1.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f=-x+alnx.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f′(x)=0得,x=或x=.当x∈∪,+∞时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(

2、x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【解析】(1)由f(x)=-klnx(k>0),得x>0且f′(x)=

3、x-=.由f′(x)=0,解得x=(负值舍去).f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:x(0,)(,+∞)f′(x)-0+f(x)↘↗所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞).f(x)在x=处取得极小值f()=,无极大值.(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e.当k=e时,f(x)在区间(1,]上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,]上单调递减,且f(1)=>0,f()=<0,所以f(x)在区

4、间(1,]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.3.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的单调递增区间;(2)当0<-

5、f(x)

6、=+是否有实数根.【解析】(1)由已知可知函数f(x)的定义域为{x

7、x>0},当a=-1时,f(x)=-x+lnx(x>0),f′(x)=(x>0);当00;当x>1时,f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1).(2)

8、因为f′(x)=a+(x>0),令f′(x)=0,解得x=-;由f′(x)>0,解得0

9、f(x)

10、≥1.令g(x)=+,则g′(x)=.当00;当x>e时,g′(x)<0.从而g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(e)=+<1,所以

11、f(x)

12、>g(x),即

13、f(x)

14、>+

15、,所以方程

16、f(x)

17、=+没有实数根.