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1、微积分同步辅导与考研指南第一章函数一．内容提要：1.集合：集合的概念；集合的运算.2.区间和邻域:(1).区间：实数区间R=(-∞，+∞)；自然数全体N={0,1,2,3,…}；整数全体Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}；开区间(a,b)={
2、a＜＜b}；闭区间[a,b]={
3、a≤≤b}；半开半闭区间(a,b]={
4、a＜≤b}；[a,b)={
5、a≤＜b}；（2）邻域：邻域的概念是本章的重要概念，在以后的应用中经常出现，这里有必要把这个概念再详细复习一下:l的邻域：设为一个实数，δ＞0，满足不等式的一切实数，即集合
6、的全体实数叫的δ邻域.叫邻域的中心，δ叫邻域的半径，的δ邻域记作U(,δ),即.δδ满足的一切实数，即满足的一切实数，就是开区间内的一切实数，从几何上讲的δ邻域就是以为中心，2δ为长度的开区间..l的δ去心邻域：记作,Oy称为的左邻域，称为的右邻域.3.函数的概念(1).函数的定义.(2).会求函数的定义域.(3).函数的基本性质：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性.198微积分同步辅导与考研指南1.分段函数、取整函数：因为分段函数今后经常遇到，有必要在这里强调一下.(1).分段函数：有的函数在定义域的不同部分用不同的解析式
7、子表达，这样的函数叫做分段函数.例如:yO1-1绝对值函数：符号函数：(2).取整函数：也是一个分段函数，我们单独拿出来讨论一下.设是一个实数.[]表示不超过的最大整数，即y=[]=n，,叫做取整函数，它的图形是一个阶梯曲线.2.复合函数、反函数：(1).复合函数:两个或者更多函数如何复合成复合函数，在后面典型例题中给几个例子.(2).反函数：设函数的定义域是D(f)、值域是R(f),如果对于每一个∈R(f),都有唯一的∈D(f)与之对应且满足y=f(),则是定义在R(f)上以y为自变量的函数，记此函数为：.并称为的反函数，通
8、常将的、对调得函数，我们称互为反函数.198微积分同步辅导与考研指南如何求一个函数的反函数，也在典型例题分析中给出例子.1.基本初等函数与初等函数.2.函数关系的建立.3.经济学中常用的函数.(1).需求函数：Q=f(p),其中p表示某商品的价格，Q表示需求量.(2).供给函数：Q=ψ(p),其中p表示某商品的价格，Q表示供给量.(3).成本函数：C=C0+C(Q),其中C0为固定成本，C(Q)为可变成本，Q为销售量.(4).收益函数：R=PQ，其中p表示某商品的价格，Q表示销售量.(5).利润函数：L=R(Q)-C(Q),其
9、中R(Q)为总收益、C(Q)为成本.一．典型例题解析：例1．用区间表示下列不等式中的变量的变化范围:(1);(2);(3).分析：解上面问题要由绝对值不等式的几何意义以及数轴上点的位置关系将点集用区间表示.解：(1).根据绝对值的性质有>+1或<-(+1).>+1无解，<-(+1)得：，即.(2).解法1：两边平方去掉绝对值符号得：解法2：根据绝对值定义:①.②.③.④.综上知：.(3)解法1.根据绝对值的性质:.解法2.根据邻域的定义，满足不等式的一切就是1的去心δ邻域.例2．求下列函数的定义域：198微积分同步辅导与考研指
10、南分析：函数定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.例1．判定下列函数在指定区间的单调性:分析：这里利用单调函数的定义或者几何意义进行讨论.198微积分同步辅导与考研指南例1．下列函数哪些是奇函数，哪些是偶函数，并说明理由.分析：判断函数的奇偶性，只能利用函数奇偶性的定义，验证等式或者是否对任意实数均成立.例2．判断下列函数那个是有界函数、哪个是无界函数？198微积分同步辅导与考研指南例1．判定下列函数是否为周期函数，若为周期函数求其周期:例2．求下列函数的反函数以及反函数的定义域:198微积分同步辅导与考研指南例1．.例2
11、．设一．本章习题全解习题1—11.按下列要求举例：(1).一个有限集;(2).一个无限集;(3).一个空集;（4）.一个集合是另一个集合的子集.解：(1).大于5而小于10的正整数组成的集合{6,7,8,9}.(2).大于5而小于10的实数组成的集合{
12、5<<10}.(3).平方小于-1的实数.(4).正整数集合是实数集合R的子集.2.用集合的描述法表示下列集合:(1).大于5的全体实数集合;(2).圆内部(不包含圆周)一切点的集合;(3)..198微积分同步辅导与考研指南解：(1).{
13、>5,∈R};(2).;(3)..1.
14、用列举法表示下列集合:(1).方程的根组成的集合;(2).;(3).集合{
15、
16、-1
17、≤5的整数解}.解：(1).得：=3或=4∴解集为{3,4}..(3).解
18、-1
19、≤5得-4≤≤6,∴{
20、
21、-1
22、≤5的整数解}为{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.2.下
