微积分同步辅导与考研指南3

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1、第五章不定积分一．内容提要：1.不定积分的概念、性质：l原函数的定义：若定义在区间I上的函数以及可导函数满足关系：对于任意，都有，则称为在区间I上的一个原函数.l原函数存在定理：如果在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数，使任意，都有.简单地说就是：连续函数一定有原函数.l不定积分的定义：在区间I上，函数的全体原函数称为在区间I上的不定积分，记作：，则l不定积分的几何意义：不定积分在几何上表示积分曲线族l不定积分的性质：2.不定积分的求法：l换元积分法：第一类换元积分法（又叫凑微分法）：设具有原函数，即看

2、和没有凑之前相等不相等，如果不相等也仅差一个符号或者常数.第二类换元积分法：设是单调的可导函数，并且，又设228具有原函数，则有换元法：其中是的反函数.也就是说，给出的不定积分不会求，这时我们引入变量代换，化成就可以求出了，求出的原函数用的反函数代换即可.在第二换元积分法中最简单、最常见的是三角代换和倒代换，我们在典型例题中说明这两种情形.l分部积分法：降次法：也就是被积函数由多项式与三角函数或者指数函数的积的形式出现，设多项式为u.转换法：也就是被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数的积的形式，设对数函

3、数或者反三角函数为u.循环法：也就是被积函数是指数函数与正弦(或余弦)函数的积时，两个函数任选一个作为u，积分一次再积分一次，第一次选哪种类型数作为u,第二次用分部积分法时还选那类函数作为u，积分后移项即可.递推法：被积函数是某一简单函数的高次幂，利用一次分部积分法，使幂降一次，连续积分即可，这种方法叫递推法.l有理函数的积分：被积函数是有理函数的形式，将被积函数分解成部分分式的形式，再积分.l不定积分积分公式：228一．典型例子解析：例1.求下列不定积分：例2.求下列不定积分：228例1.求下列不定积分：

4、228例1.求下列不定积分：228例1.利用到代换求：228例1.例2.求下列不定积分：228228一．本章习题全解习题5-11.求下列不定积分：2282282281.一曲线通过点,且在任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求曲线的方程。解：根据导数的几何意义：.将曲线的方程为2.已知某产品产量的变化率是时间t的函数(a,b为常数)，设此产品的产量为函数，且，求.解:根据题意：习题5-21.求下列不定积分：228228228利用辅助三角形228利用辅助三角形2282281.用指定的换元法求下列不定积分：

5、228习题5-31.求下列不定积分：2282281.利用指定的变量代换求下列不定积分：228习题5-41.计算下列积分：228228228总复习五1.求下列不定积分（其中a、b是常数）：228228.2282282282282281.设某商品的需求函数Q是单价p的函数，该商品的最大需求量为1000（即p=0时Q=1000）,已知需求量的变化率为，求需求量关于价格的弹性.一．考研真题精选：1.（89.数四，3分）下列等式中正确的结果是：（A）2.（89.数四，5分）求不定积分2281.（90.5分）求下列不定

6、积分解：被积函数是幂函数与三角函数的乘积，因此在求不定积分时考虑用分部积分法.2.（91.5分）求不定积分.解：本题和90年的题目类似，求不定积分时考虑用分部积分法.3.（92.8分）解:被积函数含有反三角函数，考虑用分部积分法.4.（93年，3分）.2281.（94年,6分）.2.（95年，6分）求不定积分.解:连续两次运用分部积分法：3.（96年，3分）设4.（98年，3分）.2281..2.（00年，3分）2281.（02年，6分）设2.(02年，3分)已知函数的一个原函数为，则.综上，考生在复习中要

7、熟练掌握以下几点：①熟练掌握不定积分的基本积分公式。②熟练掌握不定积分的换元积分法，特别是第一类换元积分法（又叫凑微分法）凑微分比较灵活，需做大量的习题才行。特别是各种类型题目做够做好，总结到位。③分部积分法在考研中经常用到，这种方法要熟练掌握，在利用分部积分法时，那个函数作为u是关键。第五章定积分及其应用一．内容提要1.定积分的概念：l定积分的定义：设函数在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n-1个分点：把区间分成n个小区间，每个小区间的长度是，在每一个小区间上任取一点，，做乘积（228做近似值l可

8、积的条件：①在区间[a,b]上连续一定可积；②在区间[a,b]上有界，且有有限个间断点，则在区间[a,b]上一定可积.l定积分的几点说明：①定积分的值与区间有关；②定积分与积分变量无关.即l定积分的几何意义：①当时，②当时，③当在[a,b]上既有正值又有负值时：2.定积分的性质：性质1：性质2：性质3：（定积分对区间具有可加性）设性质4：228性质5：性质6：推论：性质7：设M、m分别是在区间[a,b]上的最大值