2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.3正弦定理、余弦定理的应用讲义苏教版必修5

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1、1.3　正弦定理、余弦定理的应用学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.正、余弦定理在物理学中的应用【例1】　如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解．[解]　如图，作＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED，则＝＝F1，＝F2.由题设条件可知，

2、

3、

4、＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°.在△OCE中，由正弦定理，得＝，＝，因此，

5、F1

6、＝≈11.3N，

7、F2

8、＝≈12.3N.即灯杆OA所受的力为11.3N，灯杆OB所受的力为12.3N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30N，F2＝50N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．[解]　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3

9、和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得F＝＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝＝，所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.即F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°.正、余弦定理在几何中的应用【例2】　如图，在△ABC中，B＝，AC＝2，cosC＝.(1)求sin∠BAC的值；(2)设BC的中点为D，求中线AD的长．思路探究：(1)(2)[解]　(1)因为cosC＝，且C是三角形的内角，所以sinC＝＝＝.所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBs

10、inC＝×＋×＝.(2)在△ABC中，由正弦定理得，＝，则BC＝×sin∠BAC＝×＝6，所以CD＝BC＝3.又在△ADC中，AC＝2，cosC＝，所以由余弦定理得，AD＝＝＝.(三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.2.如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.[解]　(1)因为∠BCD＝90°＋60

11、°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°.所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.(2)在△ABE中，AB＝2，由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得＝，∴AE＝＝＝－.正、余弦定理在测量学中的应用[探究问题]1．如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？[提示]　在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用

12、余弦定理求AB.2．如图，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)[提示]　测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．【例3】　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？思路探究：在△ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在△DBC

13、中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间．[解]　由题意知AB＝5(3＋)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝×＋×＝，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以BD＝＝＝＝＝10，又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×10×20×＝900，所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝＝1(小时